Bonsoir
C'est sans doute un peu tard mais je n'ai pas le temps avant
Je n'ai pas trouvé autre chose que par l'analytique.
Soient l'ellipse réduite x²/a² + y²/b² = 1 ; un foyer F(c,0); la directrice correspondante x = a²/c avec c² = a² - b²
*
un  point de la directrice T = (a²/c,µ)
la corde des contacts MN des tangentes issues de T a pour équation x.(a²/c)/a² + y.µ/b² = 1  ou  x/c + y.µ/b²=1
constatons  qu'elle (MN)  passe par F(c,0)
*
sa pente (celle de MN)  = -b²/(cµ)
la pente de FT = µ/(a²/c - c) = µ/{(a²-c²)/c} = µ/(b²/c) = cµ/b qui est l'inverse et l'opposé de celle de MN donc FT et MN sont perpendiculaires
En espérant que cette démonstration anlytique puisse te satisfaire.
A+

merci pour cette réponse
juste une petite question, comment fais tu pour trouver l'équation de la corde MN ?

Bonjour
Quelle l'équation de la tangente en un point (x₁,y₁) de l'ellipse x²/a² + y²/b² = 1 ?
C'est x.x₁/a² + y.y₁/b² = 1 (*); en fait on remplace x² par x.x₁  et y² par y.y₁
Lorsque (x₁,y₁) est un point extérieur à l'ellipse eh bien  cette équation (*) est la corde des points de contact des tangentes issues de (x₁,y₁)
Ca peut se démontrer dans la théorie.
Je peux te la démontrer .
A+