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Niveau troisième
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Réciproque de Thalès.

Posté par
Matheuux
19-10-14 à 11:16

Bonjour,

Théorème de Thalès.
Soit d et d' deux droites sécantes en A.
Soient M et B deux points distincts de A sur d ;
Soient N et C deux points distincts de A sur d'.
Si (MN) // (BC), ALORS AM / AB = AN / AC = MN / BC.

1) Dans la "réciproque du théorème de Thalès", on parle de deux qutients égaux et d'alignement de points.
Pourquoi ne considère-t-on que deux quotients égaux ?

2) Et pourquoi parle-t-on d'un seul coup de points alignés que l'on ne fait pas référence dans le théorème ?

3) Aussi, professeur m'a dit que la réciproque de ce théorème n'était pas vraiment une réciproque.
Pouvez-vous m'en dire plus ?

Merci bien.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Réciproque de Thalès. 19-10-14 à 12:21

Bonjour,

Il faut être réellement conscient de ce que dit le théorème, déjà

il considère des droites d et d', donc des points de ces droites sont alignés par définition.
c'est bien ça l'hypothèse : les points M, A, B sont alignés, c'est dit autrement ("sur une même droite") mais c'est bien cela
ensuite l'ordre des points est fondamental.
cela ne "se voit pas" quand on nomme correctement les points dans le théorème direct parce que les droites sont parallèles, donc cela impose l'ordre des points.

ceci étant dit,

on ne parle que de deux quotients parce que cela suffit.
ensuite le troisième rapport sera égal par application du théorème direct
de plus il y a un "loup" si on prend les rapports sur les droites parallèles : cela risque d'être faux !
Réciproque de Thalès.
ici on a bien MN/BC = AM/AB mais il y a deux points N qui satisfont à cette condition : le point N' ne donne pas du tout MN' // BC !

la "réciproque" doit faire intervenir exclusivement les deux rapports sur les points alignés.

enfin l'ordre des points doit intervenir car sinon là aussi ce serait faux (faire un dessin de contre-exemple)

tout ceci fait que ce n'est pas une "vraie réciproque".
une vraie réciproque est

théorème direct
propriété A propriété B

réciproque
propriété B propriété A

avec Thalès les "propriétés A" sont légèrement différentes entre le théorème et sa réciproque, et idem pour les "propriétés B"
(pour que ce soit une vraie réciproque il faut que ces propriétés soient formellement identiques)

ceci est fréquemment le cas pour tous les théorèmes où "propriété A" est une propriété composite
"propriété A" = "ceci et cela et encore autre chose",
ici "points alignés" et "droites parallèles" etc c'est tout cela la "propriété A".
faire une réciproque dans ces conditions devient de l'acrobatie : introduction d'hypothèses supplémentaires qui étaient des implications des hypothéses du théorème direct (par exemple, le coup de "dans cet ordre"),
élimination de cas où la réciproque est fausse etc...

Posté par
Matheuux
re : Réciproque de Thalès. 19-10-14 à 13:34

Merci pour ta réponse complète.
J'ai tout compris.
Finalement, ce n'est pas la réciproque.
pourquoi l'appeler comme ça alors...?
Comment l'appelles-tu toi ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Réciproque de Thalès. 19-10-14 à 13:46

bof, on l'appelle "traditionnellement" ainsi.

il suffit juste d"être conscient que ce n'est pas une vraie réciproque mais un autre théorème à part entière, qui "ressemble" à une sorte de "réciproque"
il y en a qui appellent ça : "Théorème réciproque du théorème de Thalès" cette lourdeur de langage ne faisnat que noyer le poisson.



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