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Niveau première
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rectangle d'or

Posté par
angelotk13
03-11-21 à 13:36

Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer cette exercice, en particulier les deux premières questions

La façade du Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or. Un rectangle d'or R1 est tel que, si on lui ôte un carré contenu dans ce rectangle (le carré en bas à gauche), le nouveau rectangle R2 obtenu a des dimensions proportionnelles à celles du rectangle initial. Le nombre d'or est le rapport de la longueur d'or à sa largeur.
1. Soit a la largeur du rectangle et b sa longueur, avec b>a. Montrer que la construction conduit à l'égalité b2-ab= a2
2. On pose x= b/a
Montrer que x est solution de l'équation x2-x+1=0

rectangle d\'or

Posté par
hekla
re : rectangle d'or 03-11-21 à 13:42

Bonjour

Que proposez-vous ? Qu'avez-vous déjà effectué ?

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:12

Bonjour, j'ai tenté de remplacer les lettres par des nombres afin de comprendre ne serai-ce qu'une partie de l'exercice mais cela me donne des résultats non concluants :
en mettant a=3; b=4
sauf que 16-12 ne sont pas égal à a X a autrement dit a 9
J'ai aussi dit que la longueur de R2 restait a et que la largeur de R2 etais b-a mais cela ne m'avance pas vraiment

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:16

Bonjour,

tu ne peux pas prendre n'importe quelle valeur pour  a si tu fixes b et inversement, sinon tu n'as plus un rectangle d'or..;donc tu peux remplacer a  par un nombre (  1 par exemple)  si ça t'aide (pas nécessaire) mais certainement pas  b .

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:25

Ok donc a au carré représente bien le carré que nous avons retiré de R1 pour obtenir R2 mais je ne comprend pas comment ou plutot d'ou est arrivé b au carré dans l'égalité.

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:28

exprime la surface de  R1  en fonction de   a  et  b,  celle de  R2 aussi et celle de ton carré tu as trouvé  a2 .  Eh tu compares la figure du haut à celle du bas.

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:34

Il me semble que : R1 = ab
et pour r2 = ab- a au carre

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:35

Et quand tu dit comparer c'est a dire diviser ?

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:48

R1  oui   et  pour  R2  c'est bon aussi mais tu peux exprimer  R2 différemment en donnant sa longueur et sa largeur.

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:51

plus précisément  R1  est de surface  ab   et  R2  de surface a(b-a) .

Comparer veut dire :   R1  a même surface que la figure d'en dessous donc...

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:55

erratum j'ai mal lu  ,  il faut utiliser que les proportions sont les mêmes . Pour  R1  la  proportion longueur sur largeur est  b/a   ,  pour  R2  c'est comme tu l'as vue  a/(b-a)  .  Donc   b/a =  a/(b-a)  et là tu conclues

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 14:58

donc il y a proportionnalité?
mais quelle rapport y'a-t-il entre la surface de R1 et R2 avec l'égalité ?

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 15:01

non je me suis trompé tu n'en as pas besoin , sauf que c'est comme ça qu'est construit le deuxième rectangle

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 15:03

donc si j'ai bien compris b/a = a/(b-a) mais comment introduire b au carré afin de justifier l'égalité ?

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 15:06

tu pars de  cette égalité et tu enlèves les dénominateur s: produit en croix si tu préfères

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 15:11

OH merci, grâce a toi j'ai enfin compris. MERCI beaucoup

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 15:12

de rien, bon courage pour la suite

Posté par
angelotk13
rectangle d'or 03-11-21 à 23:20

Bonjour, j'ai déjà sollicité l'aide de certains d'entre vous aujourd'hui qui m'as été bien utile mais j'ai encore besoin d'aide.

La façade du Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or. Un rectangle d'or R1 est tel que, si on lui ôte un carré contenu dans ce rectangle (le carré en bas à gauche), le nouveau rectangle R2 obtenu a des dimensions proportionnelles à celles du rectangle initial. Le nombre d'or est le rapport de la longueur d'or à sa largeur.

Les questions suivantes sont faites aussi mais sur celle-ci je patine.
Merci de votre aide.
La question 1 est faites mais la 2 je ne comprend pas
1. Soit a la largeur du rectangle et b sa longueur, avec b>a. Montrer que la construction conduit à l'égalité b2-ab= a2
2. On pose x=b/a
Montrer que x est solution de l'équation x^2-x+1=0

j'ai donc noté que (b/a)^2-1=0
mais je ne comprend pas comment on peut trouver une solution sans nombre comment x peut resoudre une équation ?

rectangle d\'or

*** message déplacé ***

Posté par
bernardo314
re : rectangle d'or 03-11-21 à 23:30

je crois que tu aurais dû continuer au même endroit pour le même exercice..j'attends les avis mais ta relation avec  b/a  n'est pas correcte

*** message déplacé ***

Posté par
angelotk13
re : rectangle d'or 03-11-21 à 23:35

oui je ne suis trompé c'est (b/a)^2-b/a-1=0

*** message déplacé ***

Posté par
LeHibou
re : rectangle d'or 04-11-21 à 00:02

Bonsoir,

On te dit de poser x = b/a, donc avec ton calcul x est une solution de l'équation :
x²-x- 1 = 0.
Quelles sont les solutions de cette équation ?  

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : rectangle d'or 04-11-21 à 07:53

les avertissements sur le site quand on fait ce genre de chose sont très explicites, on ne peut pas dire qu'on ne savait pas...

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
zxsr
re : rectangle d'or 29-01-23 à 11:14

bernardo314 @ 03-11-2021 à 15:06

tu pars de  cette égalité et tu enlèves les dénominateur s: produit en croix si tu préfères


peut-tu m'expliquer comment en utilisant le produit en croix passons nous de b/a=a/b-a  à a²=b²-ab

Posté par
hekla
re : rectangle d'or 29-01-23 à 11:22

Bonjour

L'avez-vous effectué, ce produit en croix ?

\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b-a}

Posté par
zxsr
re : rectangle d'or 29-01-23 à 11:44

*modération* >citation inutile supprimée*

j ai enfin compris merci, néanmoins la dernière question reste un problème que je n arrive pas a résoudre

Posté par
zxsr
re : rectangle d'or 29-01-23 à 11:44

hekla @ 29-01-2023 à 11:22

Bonjour

L'avez-vous effectué, ce produit en croix ?

\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b-a}


pourriez vous m'aider

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 29-01-23 à 11:49

en attendant le retour de hekla :

la dernière question ?
tu sais que
² = + 1
si tu multiplies de chaque coté par  , qu'est ce que tu obtiens ?

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 29-01-23 à 11:50

NB : inutile de citer !

Posté par
Valte
re : rectangle d'or 02-11-23 à 17:18

Bonjour, j'ai le même exercice et je ne comprends pas les questions 2 4 et 5. Est-ce qqun pourrait m'aider svp

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 02-11-23 à 17:31

bonsoir,

à partir de la question 1) on a b²  -  ab =  a²

2)  on pose   x =  b/a

tu en déduis que b= ax      remplace b  par ax dans   b²  -  ab =  a²
qu'est ce que tu obtiens ?

Posté par
Valte
re : rectangle d'or 03-11-23 à 10:46

ax²-a(ax)=a²
ssi ax²-a²x-a²=0
ssi a(x²-ax-a)=0

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 03-11-23 à 14:31

presque !

b= ax  ==>   b²  =  a² x²

on obtient  a²x²-a(ax)=a²
a² x²  -  a²x   - a²   =  0
a² (x² - x - 1)  = 0
et comme a est différent de 0
x² - x - 1  = 0  

q4)
si   est solution de (E)  c'est que
²  -    - 1  = 0

à présent, tu sais répondre à la question ?

Posté par
Valte
re : rectangle d'or 03-11-23 à 15:24

Oui merci beaucoup !
Juste une dernière question, quelle propriété utilisez-vous lorsque vous écrivez "et comme a est différent de 0 :    x² - x - 1  = 0 " ?

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 03-11-23 à 20:50

je n'utilise pas une propriété, j'utilise l'énoncé.

a est la largeur du rectangle, et on a posé x=b/a   qui n'est défini que si a est différent de 0.

Tu as terminé les questions 4 et 5 ?  

Posté par
Valte
re : rectangle d'or 04-11-23 à 11:26

Non je bloque sur la 5..

Posté par
Valte
re : rectangle d'or 04-11-23 à 11:56

Pour la 5 je trouve :
phi² + phi + 1
ssi phi^3 = phi² + phi
ssi pih^3 = phi(phi+1)

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 04-11-23 à 14:18

bonjour,

pour la 5, une façon de faire :

a² = a+1
on multiplie par a des deux cotés
a^3  =  a²  +  a
a^3  =  a²  +  2a  - a   + 1   -  1  
a^3  =  a²  + 2a   +1   - (a+1)
et  a+1 = a²
donc
a^3  =  a² + 2a +1  - a²
a^3  =  2a + 1

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 04-11-23 à 14:33

une autre façon :

a^3  =   a²  *  a
comme a²  =  1 + a
a^3  =  (a+1) * a =  a² + a  = 1+a   +  a = 2a +1

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 04-11-23 à 14:35

de même

a^4  =  a² * a² = (a+1) ² = a² + 2a +1  =  a+1    +2a +1  = 3a +2

je te laisse faire a^5

Posté par
Valte
re : rectangle d'or 05-11-23 à 15:49

Oh j'ai compris !!
Merci beaucoup !

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 05-11-23 à 15:54

je t'en prie.
Bonne journée

Posté par
Kais91
re : rectangle d'or 10-11-23 à 19:36

Bonsoir,

J'ai un gros blocage sur mon exercice, aidez moi s'il vous plaît !

Soit un rectangle R1 de largeur a et de longueur b. En découpant un carré de côté a dans le rectangle R1 selon la figure ci-contre, il reste un rectangle R2.
Le rectangle R1 est appelé "rectangle d'or" si ses dimensions ont la même proportion que celles du rectangle R2.

c) Montrer que si R1 est un rectangle d'or, on a l'égalité: b²-ab=a².
d) on pose x=b/a. Montrer que x est solution de l'équation x²-x-1=0.
e) Résoudre l'équation précédente. Sa solution positiva est appelée "nombre d'or" ou "divine proportion".

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 10-11-23 à 20:33

Bonsoir,

qu'as tu essayé de faire ?

Posté par
Kais91
re : rectangle d'or 10-11-23 à 21:27

@leile alors j'ai remplacer X par À/B  Durant cette opération j'ai pu montrer l'égalité et aussi montrez  que  P est solutions de l'équation puis j'ai résolu l'équation grâce au discriminant mais je ne sais pas si c'est cela qu'il fallait faire

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 10-11-23 à 21:36



"Montrer que si R1 est un rectangle d'or, on a l'égalité: b²-ab=a²."

tu as répondu à cette question ?

"on pose x=b/a. Montrer que x est solution de l'équation x²-x-1=0."
tu dis : "j'ai remplacé X par À/B"   .    Où as tu remplacé x ?
quelle égalité as tu montré ?

ensuite tu dis que tu as montré que  P est solution de l'équation :  c'est quoi P ? solution de quelle équation ?

enfin, utiliser le discriminant est une bonne idée.
Quel est alors le nombre d'or ?

Posté par
Kais91
re : rectangle d'or 11-11-23 à 12:38


Je voulais te montrer en photo mais je ni arrive pas donc je peux pas l'écrit avc les lettres du clavier

Posté par
Kais91
re : rectangle d'or 11-11-23 à 12:45

Voilà en photo

rectangle d\'or

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 11-11-23 à 12:50

Les photos sont reservées aux figures et schémas, pas aux textes.
Bien sur que  tu peux écrire avec les lettres au clavier...   et tu peux aussi utiliser  :

rectangle d\'or


tu n'en as pas besoin pour répondre à mes questions :
"Montrer que si R1 est un rectangle d'or, on a l'égalité: b²-ab=a²."

tu as répondu à cette question ?

"on pose x=b/a. Montrer que x est solution de l'équation x²-x-1=0."
tu dis : "j'ai remplacé X par À/B"   .    Où as tu remplacé x ?
quelle égalité as tu montré ?

ensuite tu dis que tu as montré que  P est solution de l'équation :  c'est quoi P ? solution de quelle équation ?

Posté par
Kais91
re : rectangle d'or 11-11-23 à 12:52

Alors oui j'ai déjà tout fait

Posté par
Leile
re : rectangle d'or 11-11-23 à 12:57

dans ce que tu écris, tu tournes en rond...

on pose x = b/a    ==>    b = ax

utilise  la question 1) (d'ou l'interet d'y répondre)
remplace   b  par   ax   dans     b²  -  ab   =  a²

pour arriver à  x² - x -1 = 0

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