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Niveau première
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recurence

Posté par
jac290688
02-01-05 à 20:42

bonsoir
SVP est ce que quelqu' un  pourait m aider a resoudre ce probleme:
An=1/(1*3)+1/(2*5)+......+1/(2n+1)
1)demontrer par recurence que
(1/2)An=1-(1/(n+1)+1/(n+2)+......+1/(2n+1)
2)a-Demontrer que 1/(2n+1)=<1/(n+k)=<1/(n+1)
tel que k appartient a l interval fermé 1,n+1 et appartient a N
b-conclure que 0<(1/2)An<1-n/(2n+1)
c-Demontrer que 0<An<2
Merci d avance pour ce qui repondrons(et aussi pour ceux qui essayerons de repondre )

Posté par
jac290688
re : recurence 02-01-05 à 22:10

si quelqu ' un pouvait m aider......

Posté par
jac290688
re : recurence 03-01-05 à 20:23

Pliiiiiiiiiz............
quelqu' un............ à l 'aiiiiiiiiiiiiiide.................c pour demain...
                                      

Posté par
jac290688
re : recurence 03-01-05 à 20:53

et UP

Posté par
Belge-FDLE
re : recurence 03-01-05 à 20:56

Salut ,

Désolé, mais je vois pas par quoi ta suite est vraiment définie... J'ai bien vu ce que tu as marqué, mais je vois pas le rapport entre les dénominateurs : 1*3, 2*5, 2n+1 ....
Par exemple, je vois pas comment calculer A2, parce 2*5 n'est pas égal à 2*2+1...

Donc voilà, si tu pouvais m'éclairer .

À +

Posté par
jac290688
re : recurence 03-01-05 à 21:13

oooooooooooups
dezsolé
je me suis trompé.... le denominateur est n*(2n+1)(2*5=2(2*2+1)
desolé encore et merci d avance

Posté par
jac290688
re : recurence 03-01-05 à 21:42

maintenant que j ai corrigé.....quelqu' un pourait- il m aider ?

Posté par
ma_cor
re recurence 03-01-05 à 21:46

Bonsoir.
Une démonstration par récurrence se fait en deux étapes :
a) on montre que la propriété est vraie pour n le plus petit (ici n=1).  On peut également le vérifier pour le ou les deux suivants (2 ou 3).
b) on donne l'hypothèse de récurrence : on suppose la propriété vraie pour n et on démontre la thèse : la propriété est vraie pour n+1.

Posté par
jac290688
re : recurence 03-01-05 à 22:15

merci pour la methode,mais le probleme reside dans la 2eme etape, je n arrive pas a demontrer que l' hypothese est valable pour n+1......

Posté par
ma_cor
re recurence 03-01-05 à 22:20

Je jette un oeil et je te dis quoi.

Posté par
ma_cor
re recurence 03-01-05 à 22:55

Balèze l'exercice, mais j'ai trouvé.
Il est assez long à expliquer car il faut passer à un moment par la décomposition de \frac{1}{(n+1)(2n+3) en \frac{a}{n+1}+\frac{b}{2n+3}.  Tu obtiens a=1 et b=-2.
Voici ce que j'ai :
en supposant que A_n=2-2\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k+1} (c'est l'H.R.), il faut montrer que A_{n+1}=2-2\sum_{k=n+1}^{2n+2}\frac{1}{k+1}.
Tu as :
A_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(2k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(2k+1)}+\frac{1}{(n+1)(2n+3) (c'est ici qu'interviennent a et b)
=2-2\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k+1}-2.\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}-2\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k+1}-2.\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}-2\sum_{k=n+1}^{2n+3}\frac{1}{k+1}+2.\frac{1}{2n+2}=2-2\sum_{k=n+1}^{2n+3}\frac{1}{k+1} (cqfd)
En remarque, si tu prends 2-2\sum_{k=n+1}^{2n+3}\frac{1}{k+1}, tu as retiré 2.\frac{1}{2n+2} en trop par rapport à ce que tu avais : il faut donc les ajouter (c'est ce que j'ai fait à la fin)!

Posté par
jac290688
re : recurence 03-01-05 à 23:05

merci infiniment ma_cor! et bonne nuit

Posté par
Belge-FDLE
re : recurence 03-01-05 à 23:28

Re-Salut jac290688 ,

je ne t'ai pas oublié, mais ton exo me posait pas mal de problème (enfin la question 1) puisque je n'ai eu le temsp que de traiter celle-là ). Mais j'ai enfin trouvé . On suppose donc :

2$\rm~\frac{1}{2}A_n~=~1~-~(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+1})  (HR)

On doit démontrer que dans ce cas :

2$\rm~\frac{1}{2}A_{n+1}~=~1~-~(\frac{1}{(n+1)+1}+\frac{1}{(n+1)+2}+...+\frac{1}{2(n+1)+1})
càd  2$\rm~\frac{1}{2}A_{n+1}~=~1~-~(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+3})

Par hypothèse, on a :

2$\rm~A_n~=~\frac{1}{1*3}+\frac{1}{2*5}+...+\frac{1}{n(2n+1)}
et  2$\rm~A_{n+1}~=~\frac{1}{1*3}+\frac{1}{2*5}+...+\frac{1}{n(2n+1)}+\frac{1}{(n+1)(2(n+1)+1)}
donc  2$\rm~A_{n+1}~=~A_n+\frac{1}{(n+1)(2n+3)}
d'où  2$\rm~\frac{1}{2}A_{n+1}~=~\frac{1}{2}A_n+\frac{1}{2(n+1)(2n+3)}

d'après HR  2$\rm~\frac{1}{2}A_{n+1}~=~1~-~(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+1})~+~\frac{1}{(n+1)(2n+3)}

or  2$\rm~\frac{1}{(n+1)(2n+3)}~=~\frac{1}{n+1}~-~\frac{1}{2n+2}~-~\frac{1}{2n+3}

(Si tu demandes, comment j'ai réussis à voir cela, c'est tout simplement -enfin simplement c'est vite dit, il m'a fallu pas moins de 1/2 heure pour y penser - que si ce n'était pas le cas, et bien la propriété ne serait pas vérifiée )

ainsi  2$\rm~\frac{1}{2}A_{n+1}~=~1~-~(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+1})~+~\frac{1}{n+1}~-~\frac{1}{2n+2}~-~\frac{1}{2n+3}

donc  2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline\frac{1}{2}A_{n+1}~=~1~-~(\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3})\\\hline\end{tabular}

3$\rm~C.Q.F.D.

Voili, voilou .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par
Belge-FDLE
re : recurence 03-01-05 à 23:30

Oups après la guerre , enfin ça m'aura fait revoir les récurrences et ça permettra à jac d'avoir deux méthodes difféentes à sa disposition .

À +



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