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récurence et dérivé
Bonjours tout le monde , j'aimerais avoir un peu d'aide sur un exercice de mathématique
Voici l'énnoncé :
Soit (phi) la fonction numérique définie sur R par :
(phi)(x) = (x - 1 ) exp ( x ) + 1 voir (1)
1/ étudier le sens de variation de f sur R ; en déduire pour tout réel x , le signe de (phi)(x)
2/ a/ On note phi' , phi" , phi (3), ... , phi (n) les derivées successives de phi. En utilisant un raisonnement par reccurence démontrer que pour tout entier naturel n non nul :
voir (2)
en deduire la valeur de (voir 3 )
On pose Sn = (voir 4)
On remarquera que pour tout entier naturel p> ou egal 1 on a :
(voir 5 )
Je tien a remerci d'avance tout le monde , vous etes génial
** image supprimée **
la FAQ du forumBonjour,
f(x) = (x - 1 ) exp ( x ) + 1 voir (1)
1/ étudier le sens de variation de f sur R ; en déduire pour tout réel x , le signe de f(x)
a) Df = R
b) Calcul de la dérivéef'(x)= exp(x) + (x-1)exp(x)
f'(x)= x×exp(x)
c) Etude du signe de la dérivée
f'(x)<0 pour x<0
f'(x)=0 pour x=0
f'(x)>0 pour x>0
d) D'où sens de variation de f(x)f(x) décroissante sur ]-oo ; 0[
f(x) croissante sur ]0 ; +oo[
f(x) admet un minimum en 0 tel que f(0)=0
On déduit de l'étude du sens de variation que f(x)>=0 qq soit x
2/ a/ On note phi' , phi" , phi (3), ... , phi (n) les derivées successives de phi. En utilisant un raisonnement par reccurence démontrer que pour tout entier naturel n non nul : ????????????
f'(x) = x×exp(x)
f"(x) = exp(x) + x×exp(x)
f"(x) = (x+1)exp(x)
f(3)(x) = exp(x) + (x+1)exp(x)
f(3)(x) = (x+2)exp(x)
Démontrons par récurennce que quelque soit n>=1 (n entier)
f(n)(x)=(x+n-1)exp(x)
a)Est-ce vrai au rang 1on calculé f'(x) = x×exp(x) =(x +1 -1)exp(x)
Propriété vraie au rang 1
b)Supposons la propriété vraie au rang n
Est-ce vrai au rang (n+1)
f(n+1)(x)= f(n)'(x)
= exp(x) + (x+n-1)exp(x)
= (x+n-1+1)exp(x)
f(n+1)(x)= (x+n)exp(x)
CQFD
CONCLUSION
La propriété f(n)(x)=(x+n-1)exp(x) pour n>=1 est vérifiée
...
3) ?????
...
4) Sn = somme (f(n)) ????
Sn= x×exp(x) + (x+1)exp(x) + ... + (x+n-1)exp(x)
Sn= exp(x) ( 0 + 1 + ... + (n-1) + (n-1)x)
la somme des entiers de 0 à (n-1) = (n(n-1)/2) (cf. cours)
Sn= exp(x) (n(n-1)/2 + (n-1)x)
Sn= exp(x) (n-1)(x+n/2)
On a donc Sn = (n-1)(x+n/2)exp(x)
Voilà, c'est un peu ce qui s'appelle faire un exo en aveugle... Bonheur
J'espère que ca colle avec ton énoncé... tu me diras!
à +
Guille64
bravo guille64 , tu a deviner la moitier de lenoncé u_u merci a toi
mais la fin correspond pas mais je vais chercher encore
Hum , je suis desolée pour les scan
En tout cas ; merci beaucoup 
Respect , avoir fait un exo sans l'enoncer complet : peut tu me dire ton secret? :p
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