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RECURENCE + SUITE pr lundi !! help c pour les boss
(Un) é défini par la relation de récurence de type : Un+1= f(Un) et par son 1er terme Uo.La fonction d est défini, à l'aide d'un parametre réel A doné vérfian 0 >ou= A >ou = 3, par les formules suivantes :
x apartien ] - infini ; 0 [ , f(x) = 0
x apartien ] 0 ; A ] ; f(x) = Ax
x apartien ]A ; 3A ] , f(x) = A/2 ( 3A-x)
x apartien ]3A; + infini [ , f(x) = 0
on pren Uo = A.
1. Dessiné soigneusemen , dans les deux cas A = 1/2 et A = 3/2, le repère étant orthonormé , les graphes de la fonction f .
Sur un autre dessin sur lequel aura été reporté le graphe de f pour A = 1/2 ainsi que le tracé de la 1ere bissectrice des axes, définir par des tracés géométriques simples les 4 1er termes de la suite . Quelle conclusion suggèrent ces tracés ? Sur un troisième dessin , effectuer les mem tracés pour A= 3/2 et énoncer une conclusion intuitive.
2) On supose 0<A<1
Montrer que la suite (Un) est convergente.Quelle est sa limite ? que peut-on dire de la suite si A=1 ?
3) on supose 1 > A > 2
a ) calculé, en fonction , de A les 1er termnes U1 , U2 et apres avoir montré que U2 > A, calculé U3.
b) montrer que U1 apartient [A : A²], U2 apartien [ A ; A²]. Montrer ensuite par récurrence que tous les termes de la suite vérifient : Un apartien [ A; A²]
c) déterminé, à l'aide de A la solution L de l'équation f(x) = x
salut
pour la 1 je te laisse faire.
a part pour les 4 premiers termes :
tu prends x=A=U0. tu pends f(U0)=F(A).
puis tu traces la droite y=f(U0).
elle coupe la premiere bissectrice en B.
B(f(U0),f(U0))
tu traces la droite x=f(U0) elle coupe la courbe de f en (f(U0),f[f(U0)]) qui est (f(U0),f(U1)) puis traces y=f(U1) elle coupe la premiere bissectrice...et ainsi de suite.
2.si 0<A<1
alors U0=A est dans ]0,1[
donc U1=f(A)=A*A=A^2 qui est aussi dans ]0,1[
...
montrons que pour tout n dans N U(n)=A^(n+1)
raisonnement par recurrence sur n.
n=0 ok
soit n tel que U(n)=A^(n+1).
on calcule U(n+1)
U(n+1)=f(U(n)) or U(n)=A^(n+1)=<A
POURQUOI ?
comme A dans ]0,1[ ln(A)<0 et
ln(A)+...+ln(A)=<ln(A)
(n+1) fois
ce qui fait (n+1)*ln(A)=<ln(A)
donc exp[(n+1)*ln(A)]=<exp[ln(A)]
donc A^(n+1)=<A.
(c'est un peu lourdot tu peux aussi simplement que 0<A<1 a toi de voir...)
donc f(U(n))=A*U(n)=A*A^(n+1)=A^(n+2)
donc ok pour n+1
donc pour tout n dans N U(n)=A^(n+1)
alors apres tout depend de ton cours.
1 ere possiblite :
tu dis que U est une suite geometrique de raison A.
la raison etant dans ]0,1[ elle converge et elle converge vers 0.
2 eme possibilite
U(n+1)-U(n)=A^(n+2)-A^(n+1)={A^(n+1)}*[A-1]
comme 0<A<1 on a U decroissante
et pour tout n dans N U(n)>=0 donc U est minoree.
donc U est decroissante et minoree => elle converge.
soit l sa limite.
U(n+1)=A*U(n)
la suite (U(n+1)) est une suite suite extraite de U donc elle converge et sa limite est l.
par passage a la limite l=A*l
donc l*(1-A)=0
comme A different de 1 on a l=0.
maintenant si A=1.
f(1)=1.
donc pour tout n dans N U(n)=1.
U est la suite constante 1. elle converge donc vers 1.
je suppose que c'est 1<A<2
U(1)=f(U0)=f(A)=A^2
comme 2>A>1 A^2>A et A^2<4.
a t on A^2>3A?
SI A^2>3A on a A*(A-3)>0
donc A est dans ]inf,0[union]3,+inf[
donc si c'etait le cas on aurait A>3 or 1<A<2 donc A^2=<3A.
A^2 est dans ]A,3A] donc U2=(A/2)*(3A-A^2)
A est dans ]1,2[ montrons que 3A-A^2>2
on resoud 3A-A^2-2>0
-A^2+3A-2=0 <=> A=1 ou A=2
donc 3A-A^2-2>0 <=> A est dans ]1,2[
donc 3A-A^2>2
donc U2>(A/2)*2=A
U2>A
U2=(A/2)*(3A-A^2)
a t on U2>3A ?
si A/2*(3A-A^2)>3A
alors 3A-A^2>6
donc -A^2+3A-6>0
or ceci n'est possible pour aucune valeur de A.
donc U2=<3A
donc U3=(A/2)*(3A-U2)=(A/2)*[3A-(A/2)*(3A-A^2)]
U1=A^2 donc U1 appartient a [A,A^2]
U2=(A/2)*(3A-A^2)
on a deja montre que U2>A.
reste a voir U2=<A^2
si U2>A^2 on aurait
(A/2)*(3A-A^2)>A^2
donc 3A-A^2-2A>0
donc -A^2+A>0
et on a ceci pour A dans ]0,1[
donc U2=<A^2
raisonnement par recurrence sur n.
n=0 , 1 ou 2 ok.
soit n>=2 tel que U(n) dans [A,A^2]
a t'on A^2>3A ?
A^2>3A <=> A dans ]-inf,0[union]3,+inf[
comme 1<A<2 on a A^2=<3A.
donc U(n) est dans [A,A^2] qui est inclus dans [A,3A].
regardons U(n+1)=f(U(n))
1er cas : U(n)=A alors U(n+1)=A^2
donc U(n+1) est dans [A,A^2] ok.
2 eme cas : U(n) est dans ]A,3A]
alors U(n+1)=(A/2)*(3A-U(n))
reste a voir si U(n+1) est dans [A,A^2]
A=<U(n)=<A^2
-A^2=<-U(n)=<-A
donc 3A-A^2=<3A-U(n)=<2A
A/2 positif donc
(3A^2-A^3)/2=<A*(3A-U(n))/2=<A^2
reste a voir que (3A^2-A^3)/2>=A
(3A^2-A^3)/2=A*(3A-A^2)/2
on a vu dans le dernier post que comme A est dans ]1,2[ on a 3A-A^2>2
donc (3A^2-A^3)/2>=A
donc U(n+1)>=A
donc ok pour n+1.
donc pour tout n dans N, U(n) est dans [A,A^2]
c) A est dans [0,3]
si A est dans [0,1[
f(x)-x=0 n'a pas de solution dans ]-inf,0[union]3A,+infini[
dans [0,A] on a Ax-x=0 donc (A-1)*x=0
comme A different de 1 on a x=0.
et dans ]A,3A] f(x)-x=0 n'a pas de solution.
si A=1. f(x)=x <=> x dans [0,1]
si A dans ]1,3]
une solution dans ]3A,+inifini[ qui est 3A^2/(A+2)
ps. quelquechose me perturbe.
l'exo parle de suite et d'un seul coup a la conclusion on change presque de sujet.
j'aurais plutot vu la fin comme ca.
la suite U converge-t-elle pour 1<A<2.
et si elle converge soit L sa limite.
L est solution de f(x)=x.
et enfin determiner L en fonction de A.
par contre je crois que le fait de demontrer que U converge est difficile et est hors programme terminale.
a voir...
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