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Récurrence
Bonjour tout le monde, j'ai deux exercices de récirrence, j'en ai fait un mais l'autre j'aurai besoin d'aides. Je vous met les deux, si ya un probleme sur ma démo dite le moi
1) Démontrer par récurrence que la propriété 2n+1 < n² < 2^n est vrai pour tout entier n 
5.
J'ai fait :
-Initialisation jusqu'a 5, pas de probleme.
-Supposons P(n) vraie pour un n fixé.Regardons P(n+1)
H.R : 2n+1 < n² < 2^n
P(n+1) = 2n+2 < (n+1)² < 2^(n+1)
(n+1)² = n²+2n+1
2^(n+1) = 2^n*2
or 2n+2 < n²+2n+1 et n²+2n+1 < 2n*2
Donc P(n+1) Vraie
-Quelques soit n 5, P(n) est vraie.
C'est le deuxeme exercice qui me pose probleme, le voici :
Soit ( Un ) la suite définie par :
U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 
(Un+5)
Démontrer par récurrence que : pour tout entier naturel n, Un 
3
Voila merci de votre aide a tous
Egel
Bonjour
a) Ton expression de P(n+1) est fausse. Dans le membre de gauche, cela devrait être 2(n+1)+1 = 2n+3
b) Comment montres-tu que 2n+2 < n²+2n+1 et n²+2n+1 < 2n*2 ?
Dailleurs j'ai fait un faute de frappe, c'est 2^n*2 et pas 2n*2 désolé.
b) Je ne comprends pas de quoi tu parles.
Quel théorème du cours appliques-tu ?
Je pense que ce n'est pas non plus 2^n*2, mais plutôt 2^(n*2), non ?
2^(n+1) c'est 2 puissance n fois 2 enfin il me semble.
Pour le b) je n'applique aps de tehorem, je regarde les termes et je vois bien que n²+2n+1 est plus grand que 2n+2
OK pour 2^(n+1) = 2*2^n
Ton "je vois bien" n'est en rien une démonstration.
IL faut démontrer.
(L'hypothèse de récurrence peut servir.)
je viens de regarder mon cour, j'essaie d'appliquer la minoration ou la majoration mais je tourne un peu en rond
Est - ce que je peux me débrouiller d'isoler les termes de P(n) dans P(n+1) et rajouter a chaque termes ce qui lui manque pour etre P(n+1) comme ça je garde l'égalité
On veut montrer :
2n + 3 < (n+1)²
c'est-à-dire :
2n + 3 < n² + 2n + 1
2n + 1 + 1 < n² + 2n
D'après l'hypothèse de récurrence, on sait déjà que :
2n + 1 < n²
Il reste donc à montrer que :
1 < 2n
ce qui est VRAI.
A toi de rédiger cela proprement...
c'est ce que j'ai commencé a faire sur mon brouillon , merci
Tu êux m'aider pour le second exercice ?
Nous venons de partir de P(n) pour démontrer P(n+1). N'est-ce pas cela, le principe d'une récurrence ?!
Montre le raisonnement complet, maintenant...
OK donc si je résume on fait :
Supposons P(n) vrai pour un n fixé. regardons P(n+1)
H.R : Un+1 = V(Un+5)
V(Un+5) = V(5+3) = V8.
V8 =< 3 Donc (Un+1) =< 3
P(n+1) est vraie
DOnc quelques soit n, Un =< 3
Non.
Il y a un problème de logique.
Que cherche-t-on à montrer par récurrence ?
Donc qui est P(n) ?
Qui est P(n+1) ?
Donc l'HR n'est pas ce que tu dis.
Qui est P(n) ?
Qui est P(n+1) ?
Montre maintenant un raisonnement corrigé, sans oublier l'initialisation.
Oui je comprend ,
-U1 = V(1+5) = V6 Vraie
-Suppposons P(n) vrai pour un n fixé. Regardons P(n+1)
H.R : Un =< 3
P(n+1) = V(3+5) = V8
V8 =< 3
Donc P(n+1) est vraie
-Quelques soit n, Un =< 3 est vrai
et bien pour démontrer U(n+1)
On utilise U(n+1) = V(Un+5)
Come Un est majorée par 3 , on peut écrire
U(n+1) = V(3+5) = V8 =< 3
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