Bonjour,
voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas à résoudre.
1. Comparer 2^n et n² pour différentes valeurs de n.
On remarque que 2^2 est tjrs superieur ou égal à n^2.
2. Résoudre l'inéquation 2n²> ou = (n+1)²
Bon comme 2n² et (n+1)² sont des carrés 2n²-(n+1)² est positif pour tout n.
3. Démontrer par récurrence que pour tout n>3, 2^n > ou = n².
J'ai fait l'initialisation. Pour n=4 la propriété est vraie.
Mais pour l'hérédité je n'y arrive pas :s
Merci
Salut ^^
Je te la rédige, comme ça tu sauras ^^
Notons la proposition : "
"
Soit
Supposons la proposition vraie.
Montrons par récurrence qu'elle est vraie pour
Tu conitnues ??
bonsoir Oxygenia
pour le 2
2n²-(n+1)² = 2n²-n²-2n-1 = n²-2n-1 = (n-1)²-2
2n² >= (n+1)² équivaut à (n-1)² >= 2
|n-1| >= V2; n <= -V2+1 ou n >= V2+1
si n appartient au nombre naturel : n >= 3
3. si 2^n >= n² (A) et si n > 4 alors 2^(n+1) > (n+1)² (B)
en effet, pour passer de la comparaison (A) à la comparaison (B), on ajoute 2^n au premier membre et (n+1)²-n² au deuxième membre; or (n+1)²-n² <= n² puisque (n+1)² <= 2n²; donc (n+1)²-n² <= n² <= 2^n
on ajoute plus ou autant au premier membre qu'au deuxième, ce qui fait que le premier membre reste plus grand ou égal au deuxième
bin justement c'est pour la suite que je sais pas ^^.
J'ai voulu commencer par 2^n>n² mais je n'ai pas trouvé.
c'est l'exo classique où faut faire gaffe au cas n = 3 et on commence la récurrence à 4 comme indiqué ci-dessus
Bonjour, voici l'énoncé :
Soit n un entier naturel. Comparer 2^n et n².
Émettre une conjecture sur l'ordre de ces deux entiers, puis la démontrer.
Voici mon brouillon : Nous allons comparer 2^n et n² pour différentes valeurs : 0.1.2.3.4.5
Pour n=0, Pour n = 1, Pour n=2, Pour n=3 Pour n=4 Pour n=5
2^0 = 1 2^1=2 2^2 = 4 2^3 = 8 2^4 = 16 2^5 = 32
1² = 1 1²=1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5²= 25
J'en déduis quelque soit n appartenant à N/{4}, 2^n >= n²
Maintenant que j'ai conjecturé, je peux utiliser la méthode de la récurrence.
L'initialisation :
Pour n=0
2^0 =1 Donc (P0) est vraie.
0² = 0
Hérédité :
Supposons que (Pn) soit vraie pour un entier n quelconque, privé de 3. Et démontrons que (Pn+1) est vraie, tel que :
2^n+1 >= (n+1)²
D'après l'hypothèse par récurrence :
2^n >= n²
2^(n+1) >= 2(n²)
2^(n+1) >= 2(n x n)
2^(n+1) >= 4n²
4n² > (n+1)²
4n² > (n+1)(n+1)
4n² > n² + 2n + 1
-n²-2n 4n² > 1
2n > 1
n > 1/2
Or n appartient à N/{3} donc 2^(n+1) > 4n² > (n+1)²
Donc (Pn+1) est vraie.
Conclusion :
J'en conclus que (Pn) est vraie pour tout entier n /{3}
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Est-ce juste ? Correct ? Y a-t-il des erreurs ? Merci d'avance pour votre aide.
Bon le sujet date un peu mais autant corriger certaines erreurs de ton brouillon pour ceux qui vont tomber sur le sujet
D'après l'hypothèse par récurrence :
2^n >= n²
2^(n+1) >= 2(n²)
2^(n+1) >= 2(n x n)
2^(n+1) >= 4n²
Faite attention 2(n2)2*n+2*n
Ensuite
4n² > (n+1)²
4n² > (n+1)(n+1)
C'est très maladroit d'écrire ça, ce n'est pas faux mais si tu dois développer tu dois montrer que tu connais bien les identités remarquables et passer directement de (n+1)² à n² + 2n + 1, bon après c'est du détail tant que ça reste sur ton brouillon ça va.
Pour le reste vu que 2n24n2 la fin de ta demo est fausse.
Voilà j'espère que ça a aidé certain
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