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Niveau terminale
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Recurrence

Posté par
oxygenia
14-09-07 à 19:55

Bonjour,
voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas à résoudre.
1. Comparer 2^n et n² pour différentes valeurs de n.
On remarque que 2^2 est tjrs superieur ou égal à n^2.

2. Résoudre l'inéquation 2n²> ou = (n+1)²
Bon comme 2n² et (n+1)² sont des carrés 2n²-(n+1)² est positif pour tout n.

3. Démontrer par récurrence que pour tout n>3, 2^n > ou = n².
J'ai fait l'initialisation. Pour n=4 la propriété est vraie.
Mais pour l'hérédité je n'y arrive pas :s

Merci

Posté par
fusionfroide
re : Recurrence 14-09-07 à 19:57

Salut ^^

Citation :
Bon comme 2n² et (n+1)² sont des carrés 2n²-(n+1)² est positif pour tout n.


Attention, ici tu as une différence de carrés...

Posté par
oxygenia
re : Recurrence 14-09-07 à 20:06

Ouups lol oui effectivement ^^

Sinon pr la récurrence comme je fais?

Posté par
fusionfroide
re : Recurrence 14-09-07 à 20:10

Je te la rédige, comme ça tu sauras ^^

Notons P(n) la proposition : "2^n \ge n^2"

Soit n \in \mathbb{N}-\{4\}

Supposons la proposition P(n) vraie.

Montrons par récurrence qu'elle est vraie pour n+1

Tu conitnues ??

Posté par
plumemeteore
re : Recurrence 14-09-07 à 20:18

bonsoir Oxygenia
pour le 2
2n²-(n+1)² = 2n²-n²-2n-1 = n²-2n-1 = (n-1)²-2
2n² >= (n+1)² équivaut à (n-1)² >= 2
|n-1| >= V2; n <= -V2+1 ou n >= V2+1
si n appartient au nombre naturel : n >= 3

3. si 2^n >= n² (A) et si n > 4 alors 2^(n+1) > (n+1)² (B)
en effet, pour passer de la comparaison (A) à la comparaison (B), on ajoute 2^n au premier membre et (n+1)²-n² au deuxième membre; or (n+1)²-n² <= n² puisque (n+1)² <= 2n²; donc (n+1)²-n² <= n² <= 2^n
on ajoute plus ou autant au premier membre qu'au deuxième, ce qui fait que le premier membre reste plus grand ou égal au deuxième

Posté par
oxygenia
re : Recurrence 14-09-07 à 20:22

bin justement c'est pour la suite que je sais pas ^^.
J'ai voulu commencer par 2^n>n² mais je n'ai pas trouvé.

Posté par
fusionfroide
re : Recurrence 14-09-07 à 20:23

Salut  plumemeteore

Posté par
lolo217
re : Recurrence 14-09-07 à 23:35

c'est l'exo classique où faut faire gaffe au cas  n = 3 et on commence la récurrence à 4 comme indiqué ci-dessus

Posté par
Sethounet
Problème : comparer 2^n et n² 13-09-15 à 15:21

Bonjour, voici l'énoncé :
Soit n un entier naturel. Comparer 2^n et n².
Émettre une conjecture sur l'ordre de ces deux entiers, puis la démontrer.

Voici mon brouillon : Nous allons comparer 2^n et n² pour différentes valeurs : 0.1.2.3.4.5
Pour n=0,    Pour n = 1,  Pour n=2,   Pour n=3    Pour n=4   Pour n=5
2^0 = 1      2^1=2        2^2 = 4     2^3 = 8     2^4 = 16   2^5 = 32
1² = 1       1²=1         2² = 4      3² = 9      4² = 16    5²= 25

J'en déduis quelque soit n appartenant à N/{4}, 2^n >= n²

Maintenant que j'ai conjecturé, je peux utiliser la méthode de la récurrence.

L'initialisation :

Pour n=0
2^0 =1 Donc (P0) est vraie.
0² = 0

Hérédité :

Supposons que (Pn) soit vraie pour un entier n quelconque, privé de 3. Et démontrons que (Pn+1) est vraie, tel que :
2^n+1 >= (n+1)²

D'après l'hypothèse par récurrence :

2^n >= n²
2^(n+1) >= 2(n²)
2^(n+1) >= 2(n x n)
2^(n+1) >= 4n²

4n² > (n+1)²
4n² > (n+1)(n+1)
4n² > n² + 2n + 1
-n²-2n 4n² > 1
2n > 1
n > 1/2

Or n appartient à N/{3} donc 2^(n+1) > 4n² > (n+1)²

Donc (Pn+1) est vraie.

Conclusion :

J'en conclus que (Pn) est vraie pour tout entier n /{3}
---------------------------------------------------------------------
Est-ce juste ? Correct ? Y a-t-il des erreurs ? Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
1502charly
re : Recurrence 15-10-16 à 13:33

Bon le sujet date un peu mais autant corriger certaines erreurs de ton brouillon pour ceux qui vont tomber sur le sujet
D'après l'hypothèse par récurrence :

2^n >= n²
2^(n+1) >= 2(n²)
2^(n+1) >= 2(n x n)
2^(n+1) >= 4n²

Faite attention 2(n2)2*n+2*n

Ensuite
4n² >  (n+1)²
4n² > (n+1)(n+1)

C'est très maladroit d'écrire ça, ce n'est pas faux mais si tu dois développer tu dois montrer que tu connais bien les identités remarquables et passer directement de  (n+1)² à n² + 2n + 1, bon après c'est du détail tant que ça reste sur ton brouillon ça va.
Pour le reste vu que 2n24n2 la fin de ta demo est fausse.
Voilà j'espère que ça a aidé certain



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