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Récurrence

Posté par moi-powa (invité) 16-10-04 à 16:28

bonjour,
je dois démontrer par récurrence que pour tout n de N , 2^(3n) - 1 est divisible par 7
Soit P la proprieté : 2^(3n) - 1 = 7q avec q appartien à Z
- Donc j'ai initialisé la proprieté , elle est verifié pour n=0
-en suite il faut prouvé que la proprieté est verifiée pour le rang suivatn donc est ce que 2^(3n+1) = 7q
J'arrive à 2^(3n+1) - 1 = 7q X 2^(3n)
j'ai un peut utilisé ma calculatrice est 7q X 2^(3n) semble toujours etre divisible par 7 mais je n'arrive pas à le démontrer.Il faudrait pouvoir mettre 7 en facteur mais je ne vois pas comment.
Merci d'avance

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Récurrence 16-10-04 à 20:58

Supposons 2^(3n) - 1 = 7q vrai, on a alors:
2^(3n) = 7q + 1

2³*(2^(3n)) = 2³*(7q + 1)
2^(3(n+1)) =  8*(7q + 1)
2^(3(n+1)) =  (7+1)*(7q + 1)
2^(3(n+1)) =  7*(7q+1) + 7q + 1
2^(3(n+1)) =  7*(8q+1)  + 1
2^(3(n+1)) - 1 = 7*(8q+1)

et donc 2^(3(n+1)) - 1 est divisible par 7.
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Sauf distraction.  



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