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récurrence
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : soit E un K espace vectoriel et f un endomorphisme de E .
On suppose que ker f = ker f² . Soit p supérieur ou égal à 2 et x appartient ker f^p , montrer que x appartient ker f^p-1 .
Ben c'est évident , vu que ker f = ker f² = j=ker f^p-1 , alors x appartient f^p-1 .
En déduire que quelque soit p supérieur ou égal à 1 , ker f^p = ker f .
cas de base : p = 1
ker f = ker f
on suppose vraie la relation pour p-1 , prouvons la pour p :
pour tout p supérieur ou égal à 2 , x appartient à ker f^p-1 et à ker f^p pour tout p supérieur ou égal à 1 x appartient à ker f^p .
que pensez vous de ma démonstration ?
merci
Bonsoir.
La première partie est quand même à détailler.
On suppose donc que Ker(f) = Ker(f²).
Soit p un entier supérieur ou égal à 2.
x € Ker(fp)
=> fp(x) = 0
=> f2(fp-2(x)) = 0
=> fp-2(x) € Ker(f²)
=> fp-2(x) € Ker(f)
=> f(fp-2(x)) = 0
=> fp-1(x) = 0
=> x € Ker(fp-1)
On suppose donc que Ker(f) = Ker(f²)
La première partie te permet d'écrire : Ker(p) 
Ker(p-1).
Or, il est très simple de montrer que l'on a Ker(p-1) Ker(p).
Donc :
pour tout p > 2, Ker(p) = Ker(p-1).
Ainsi, tu as, par application successive de cette règle :
Ker(p) = Ker(p-1) = Ker(p-2) = . . . = Ker(f²) = Ker(f).
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