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récurrence

Posté par
moua93800 20-07-08 à 11:28

bonjour,

je devais prouver pas récurrence l'inégalité  nCr(2n,n) (supérieure ou égal) (4^n)/(2* n^(1/2))

nCr(2n,n) combinaison de n parmi 2n...

merci

Posté par
xunilre : récurrence 20-07-08 à 12:36

bonjour,

à l'hérédité, avec ton hypothèse de récu., tu dois montrer que:

C^{n+1}_{2n+2}\ge \frac{4^{n+1}}{2\sqrt{n+1}}

bon tu remarques que:

C^{n+1}_{2n+2}= C^{n}_{2n}\times \frac{4n+2}{n+1}

ainsi il suffit de montrer que pour tout entier naturel n non nul,

\frac{4n+2}{n+1}\ge 4\times \sqrt{\frac{n}{n+1}}

a voir

Posté par
xunilre : récurrence 20-07-08 à 17:32

oué ca va bien mais ca reste une récurrence ...

4n^2+4n+1\ge 4n^2+4n

ie (2n+1)^2\ge 4n(n+1)

soit \frac{(2n+1)^2}{n+1}\ge 4n (n naturel)

\frac{(2n+1)^2}{(n+1)^2}\ge 4\frac{n}{n+1}

et par croissance de la fonction racine carrée,

\frac{(2n+1)}{(n+1)}\ge 4\sqrt{\frac{n}{n+1}}

Posté par
xunilre : récurrence 20-07-08 à 17:37

enfin non par croissance on obtient:

\frac{(2n+1)}{(n+1)}\ge 2\sqrt{\frac{n}{n+1}}

et après on double pour avoir notre résultat ...


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