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récurrence

Posté par skloug (invité) 03-09-05 à 17:13

Bonjour,

je dois demontrer par récurrence que pour tout n>0

0 < u_n < 1

sachant que, u₀=0 et que u_n+1= (2u_n + 3)/(u_n + 4)

Pour l'Initialisation, pas de probleme : en effet u₀=0 donc 0u_n<1
Puis, pour la seconde etape... je bloque
c'est a dire que si 0 < u_n < 1
alors 0 < u_n+1 < 1 (ce que je dois démontrer)

et c'est justement ce que je dois demontrer qui me pose probleme... je ne vous demande pas de me le faire
mais juste de me donner un ptit indice.. siouplait

merci

Posté par philoux (invité)re : récurrence 03-09-05 à 17:19

Bonjour

un+1= (2un + 3)/(un + 4)

si un>0 alors un+1 >0 (somme quotient de termes positifs

tu peux écrire (2un+8-5)/(un+4) = 2-5/(un+4)

0<un<1

4<un+4<5

1/5<1/(un+4)

1<1/(un+4)

-1/(un+4) < -1

2-1/(un+4) < 2-1

2-1/(un+4) < 1

un+1 < 1

donc

0 < un+1 < 1
Philoux

Posté par skloug (invité)re : récurrence 03-09-05 à 17:27

heu...

tu dis, "tu peux écrire (2un+8-5)/(un+4) = 2-5/(un+4)"
ca, je ne comprends pas..

Puis, 1/5<1/(un+4)
1<1/(un+4)
comment tu passes de l'un a l'autre ??

et enfin, tu as ecris 2-1/(un+4) < 1
c'est pas plutot 2-5/(un+4) que tu as voulu ecrire ? (faute de frappe?)

merci

Posté par philoux (invité)re : récurrence 03-09-05 à 17:39

oui, je reprend en corrigeant (oubli des 5) :

tu peux écrire (2un+8-5)/(un+4) = 2-5/(un+4) (en mettant 2 en facteur et simplifiant)

0<un<1

4<un+4<5

1/5<1/(un+4)

1<5/(un+4)

-5/(un+4) < -1

2-5/(un+4) < 2-1

2-5/(un+4) < 1

un+1 < 1

donc

0 < un+1 < 1

Sauf nouvelle erreur

Philoux

Posté par skloug (invité)re : récurrence 03-09-05 à 17:55

d'accord ! la oui c'est plus clair

mais, est ce que ca c'est correct (ce dont je doute) :

0 < u_n < 1
0 < 2u_n< 2
3 < 2u_n+3 < 5 (on appelle ca A)

puis

0 < u_n < 1
4 < u_n+4 < 5 (on appelle ca B)

Et, en fait le rapport A/B
on obtient :
3/4 < (2u_n+3)/(u_n+4) < 5/5

or, 3/4>0
d'où

0 < (2u_n+3)/(u_n+4) < 1
donc, 0 < u_n+1 < 1

Je suis pas sur que mon histoire de rapport ca juste..

Posté par skloug (invité)re : récurrence 03-09-05 à 18:03

désolé, mais il y a encore quelque chose que je ne comprends pas dans ce que tu as dit..

on a (2u_n+8-5)/(u_n+4)
d'accord, apres je met 2 en facteur..pas de probleme (encore heureux) :
(2(u_n+4)-5)/(u_n+4)
mais maintenant comment je simplifie...

Posté par re : récurrence 03-09-05 à 18:37

Je reformule à ma manière.

On suppose $0<u_n<1$

Alors $u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}>0$ est évident (quotient de deux nombres >0)

Reste à montrer : $u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}<1$

Or on remarque que
$u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}=\frac{2(u_n+4)-5}{u_n+4}=2-\frac{5}{u_n+4}$
Et :
$u_n<1$
$\Leftrightarrow u_n+4<5$
$\Leftrightarrow \frac{1}{5}<\frac{1}{u_n+4}$ (car $u_n+4>0$ )
$\Leftrightarrow 1<\frac{5}{u_n+4}$
$\Leftrightarrow -\frac{5}{u_n+4}<-1$
$\Leftrightarrow 2-\frac{5}{u_n+4}<1$
$\Leftrightarrow u_{n+1}<1$

Donc $0<u_{n+1}<1$

Où bloques-tu ?

Nicolas

Posté par re : résoudre une équation 04-09-05 à 12:51

On trouve en effet $x^2$ = -7 ou 1/2
Le premier cas est impossible.
Reste donc : $x^2$ = 1/2
Donc x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

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