Bonjour, j'ai cet exercice à faire en DM et je ne sais pas très bien y répondre et je ne sais pas si ce que j'ai fait est exact. voilà ce que j'ai fais :

Exercice : Vrai ou faux ? Justifier

1. Si une proposition est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier naturel n.

Faux. Pour qu'une proposition soit vraie pour tout entier naturel n, en plus d'être héréditaire il faut qu'elle soit vraie pour n=0 ou n=1 (initialisation).

2. Si une proposition est vraie pour n = 0 et est héditaire, alors elle est vraie pour n = 1.

Vrai. Selon le principe du raisonnement par récurrence, pour qu'une prop. soit vraie pour tout n, il faut qu'elle soit initialisée et héréditaire Ici elle est initialisée et héréditaire à partir de 0.

3. Si une proposition est vraie pour n = 1 et est héréditaire, alors elle est vraie pour n = 0.

Faux. la prop. est initialisée et héréditaire mais à partir de 1. il se peut qu'elle ne soit pas vraie pour n=0.

4. Si une proposition est vraie pour n = 0 et n = 1 alors elle est héréditaire.

faux. La prop. peut être vraie pour n=0 et n=1 mais s'avérer fausse à partir de n=2.

5. Si une proposition est vraie pour n = 5 et est héréditaire à partir de n = 3 alors elle est vraie ∀n ≥ 3.

faux. l'hérédité est à partir de 3 mais comme on sait que la proposition est vrai pour n=5, on ne peut pas savoir si la prop. sera vraie pour n=4 par exemple.

6. Si une proposition est vraie pour n = 5 et est héréditaire à partir de n = 3 alors elle est vraie ∀n ≥ 5.

Vrai. La prop. est vraie à partir de 5. L'hérédité est à partir de n=3. L'hérédité signifie que si la prop est vraie à 3, elle le sera à 4, de 4 à 5... (domino), et ce de façon infinie. la prop étant vraie pour n=5 et l'hérédité infinie, on peut conclure que cette prop est vraie pour tout n sup ou égal à 5.

7. Si une proposition est vraie pour n = 3 et est héréditaire à partir de n = 5 alors elle est vraie ∀n ≥ 3.

Vrai. La prop est héréditaire à 3 et à 4, car si elle marche à 5, c'est qu'elle a marché à 4, et avant 4 à 3 et comme p(n) vraie pour p(3), la proposition est vraie.

8. Si une proposition est vraie pour n = 3 et est héréditaire à partir de n = 5 alors elle est vraie ∀n ≥ 5.

faux. Malgré l'hérédité à partir de n=5, la prop. peut être fausse pour n=5.

Merci beaucoup pour votre aide par avance !