Bonjour,
U est la suite définie par Uo= 0 et pour tout nombre entier naturel n,
Un+1= racine carré de 0,5un^2+8

1)Calculer U1 et u2
2) démontrer par recurrence que, pour tout n de N:
0=<Un=<un+1=<8
3)a.  justifier que la suite est convergente
b. En remarquant que pour tout n de N, U^2 n+1=0,5U^2 n +8, montrer que la limite l de la suite U est solution d'une equation et en déduire la valeur de cette limite.
4) on se propose d'obtenir l'expression de Un en fonction de n
a. V est la suite définie sur N par
Vn= u^2 n - 16
Demontrer que v est géométrique
b. En déduire l'expression de Vn et Un en fonction de n

Ce que j'ai trouvé :
1)  U1 = 2racine carré 2
U2= racine carré de 10

2) Initialisation :
Pour n= 0, on a Uo=0 et 0=<0=<8
DONC 0=<Uo=<8

héridité :
Soit k € N tel que 0=<Uk=<8
Montrons que 0=<Uk=<Uk+1=<8
On a 0=<Uk=<Uk+1=<8
DONC  0+8<Uk+8<Uk+1 +8<16
De plus comme 0,5x^2 est croissant ça conserve l'ordre donc
On a: (0,5*8)^2<0,5*Uk^2+8<0,5*Uk+1 +8 <(0,5*16)^2

16<0,5*Uk^2+8<0,5*Uk+1 +8 <64

On appliqué la racine carré qui est strictement croissante sur R+

4 < racine carré ( 0,5*Uk^2+8)<racine carré (0,5*Uk+1 +8) <8
   LE MAJORANT EST DONC BON MAIS PAS LE MINORANT JE DEVRAIS TROUVER 2 racine carré de 2.
Et si j'applique 0,5*Un^ 2 avant le +8 je trouve le bon MINORANT mais le mauvais majorant ( 2racine carré de 6)

3)a. La suite U est donc croissante et majoré par 8. Elle converge donc vers un réel l avec l=< 8.

b. Lim Un+1 = l et lim (0,5Un^2+8) =l
ici je ne sais pas quoi faire et comment le faire il me dise U^ 2 n = 0,5 U^2 n +8, pour quoi, ça modifie la limite.

4) a. Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut calculer Vn+1/Vn
Mais je n'y arrive pas : il faut bien faire U^2 n+1 - 16 / U^2 n - 16

b. Comment on fait ça....

Merci de m'avoir lu en attendant avec impatience votre aide.