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Récurrence

Posté par
Valentin903 18-11-19 à 19:14

Bonsoir à tous, l'objectif de cet exercice est de démontrer par récurrence que la suite (Un) est croissante avec U0=0 et Un+1=3Un-2n+3
Soit (Pn) la proposition suivante : Un+1>Un
Initialisation pour n=0
U0=0
U1=3
Donc (P0) est vraie
Hérédité : On souhaite demontrer que si (Pn) est vraie alors (Pn+1) l'est aussi. C'est à dire : Un+2>Un+1
Un+1>Un d'après l'hypothèse de récurrence
3Un+1-2n>3Un-2n
3Un+1-2n+3>3Un-2n+3
Un+2>Un+1
Donc (Pn) est héréditaire
Conclusion
(P0) est vraie
(Pn) est héréditaire
Donc (Pn) est vraie pour n>=0

Merci de me corriger si besoin

Posté par
carpediemre : Récurrence 18-11-19 à 19:21

salut

Citation :
3Un+1-2n+3>3Un-2n+3
Un+2>Un+1
comment passes-tu d'une ligne à l'autre ?

quelle est l'expression de u(n + 2) ?

Posté par
Valentin903re : Récurrence 18-11-19 à 19:22

U(n+1)=3Un-2n+3
Donc U(n+2)=3U(n+1)-2n+3 n

Posté par
Valentin903re : Récurrence 18-11-19 à 19:23

Ou bien U(n+2)=3U(n+1)-2(n+1)+3 ?

Posté par
Valentin903re : Récurrence 18-11-19 à 19:26

?

Posté par
carpediemre : Récurrence 18-11-19 à 19:57

oui ok et donc as-tu cela au premier membre de

Citation :
3Un+1-2n+3>3Un-2n+3
Un+2>Un+1


PS : et il serait d'apprendre à écrire correctement les indices (tu as tous les outils sur le forum) ou alors en revenant à la notation fonctionnelle ...

Posté par
Valentin903re : Récurrence 18-11-19 à 22:55

Bien, je vais apprendre. Cependant, comme cela est faux, comment faire ?

Posté par
carpediemre : Récurrence 19-11-19 à 08:54

ben là il y a un pb :

tu es arrivé à 3u_{n + 1} - 2n + 3 \ge u_{n + 1}

en notant g et d les membres de gauche et de droite :

pour passer de g à u(n + 2) il faut retrancher 2 ... sauf que l'implication g > d => g - 2 > d n'est pas toujours vraie donc on ne peut pas conclure

et pour tout te dire je ne vois pas comment faire pour l'instant ... mais est-ce l'énoncé exact et surtout complet de l'exercice ?

Posté par
carpediemre : Récurrence 19-11-19 à 09:16

peut-être faut-il passer par une première étape qui serait de montrer que u(n) > n + 2 (ou un truc du genre) ...

Posté par
carpediemre : Récurrence 19-11-19 à 09:31

détermine le réel a tel que u_{n + 1} - 2(n + 1) + a = 3(u_n - 2n + a)


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