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recurrence

Posté par
Jessi16vss
19-02-20 à 20:59

Bonsoir j'aimerais un peu d'aide svp :
j'ai une suite u_n{} pour tout n dans N telle que
0< u_{0}\leq 1
u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+1}

j'ai montré que \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

il faut montrer par récurrence que (pour tout n <>0) que 1 < u_{n}\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}

l'initialisation est :  u_{1}= \sqrt{u_{0}+1} ? et après ?
merci

Posté par
Zormuche
re : recurrence 19-02-20 à 21:09

Bonsoir

Pour l'initialisation on vérifie uniquement en  u_0

en d'autres termes : est-ce que   1<u_0\le \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}   est vrai ?

Posté par
Zormuche
re : recurrence 19-02-20 à 21:14

oups j'ai mal lu l'énoncé...
évidemment que ce n'est pas vrai, puisque la récurrence se fait à partir de  n=1

Donc  u_1=\sqrt{u_0+1}, ensuite encadre u_0+1 par exemple

Posté par
flight
re : recurrence 19-02-20 à 21:15

salut


tu veux dire que  (1+5)/2  est une racine de  x² -x -1 = 0 ?

tu dis pas grand chose la dessus ...

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 19-02-20 à 22:54

je dis ça :

montrons que  1<u_{1}\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}

on a u_{1}  = \sqrt{u_0{+1}} or 0<u_0{}\leq 1

donc : 1 < u_{0}+1 \leq 2
\sqrt{1}<\sqrt{u_0{+1}}\leq \sqrt{2}
1<u_1\leq \sqrt{2}
or  \sqrt{2}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}
donc 1<u_{1}\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}

est ce correct ?

Posté par
Zormuche
re : recurrence 19-02-20 à 23:19

Oui

et comment montres-tu que sqrt(2) < (1+sqrt(5))/2

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 19-02-20 à 23:22

ah..je ne sais pas

Posté par
Zormuche
re : recurrence 20-02-20 à 00:57

(1+sqrt(5))/2 est la racine carrée de quoi ?

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 20-02-20 à 07:11

je ne vois vraiment pas à part de lui meme au carré.
ou alors on part de \sqrt{2}<\sqrt{5}..

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 20-02-20 à 08:18

c'est une des solutions de x^2-x+1 mais bon ..je vois pas.

sinon pour la suite de la recurrence?

Posté par
FerreSucre
re : recurrence 20-02-20 à 12:24

L = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, c'est la limite, il faudrait montrer que la suite est croissante ? On conclurait assez rapidement sur 1<U_n<\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Avec 0< U_o < 1
Ou alors on peut juste faire un raisonnement par récurrence qui n'est pas si compliqué :

1 < U_n < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

En essayant d'atteindre :
1 < U_{n+1} < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

Posté par
Zormuche
re : recurrence 20-02-20 à 12:27

Et comment tu le sais, que c'est la limite ?

On ne sait même pas si elle converge pour le moment

Posté par
Zormuche
re : recurrence 20-02-20 à 12:30

Je reviens à ce que je disais :

Jessi16vss tu ne vois pas de quoi (1+sqrt(5))/2 est la racine carrée ? Tu l'as pourtant écrit dans ton premier message...
Après ce sera plus facile de le comparer à sqrt(2)

Posté par
carpediem
re : recurrence 20-02-20 à 12:37

salut

il est facile de montrer que (1 + r(5))/2 > r(2) par une suite d'inégalité ...

on peut récurrer à partir de 0 ...

Posté par
carpediem
re : recurrence 20-02-20 à 12:38

carpediem @ 20-02-2020 à 12:37

salut

il est facile de montrer que (1 + r(5))/2 > r(2) par une suite d'inégalité ...

on peut récurrer à partir de 0 ... enfin pour la majoration !!!

Posté par
FerreSucre
re : recurrence 20-02-20 à 14:32

Zormuche, si la suite est croissante et que :

L = \sqrt{L+1}
L = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

L ne peut-être que la limite de la suite.

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 20-02-20 à 21:15

pour la récurrence c'est bon j'ai trouvé. Merci

Je dois montré que :

u_n_{+1}{}-u_n{} = - \frac{u_n^2-u_n-1{}{}}\sqrt{u_n{+1}+u_n{}}{}

(dur de l'ecrire!! mais au denominateur la racine prend juste un +1)

une idée pour demarrer svp?

Posté par
FerreSucre
re : recurrence 21-02-20 à 00:15

Donc tu as pu démontrer que :
1 < U_n < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

??,  pour la suite je suis pas sur de comprendre ce que tu as mis, si tu utilises du langage latex, va jusqu'au bout pour que l'on comprenne mais c'est bien quand même


La suite c'est ?  Démontrer que .. :

U_{n+1}-U_n = -\dfrac{U_n^2-U_n-1}{\sqrt{U_n+1}+U_n}

??

U_{n+1} = \sqrt{U_n + 1}
\sqrt{U_n+1} - U_n = ....

Quantité conjuguée .

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 21-02-20 à 07:56

"La suite c'est ?  Démontrer que .. :"
Oui c'est ça

quantité conjuguée ? ça veut dire quoi?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 21-02-20 à 08:29

Bonjour,
Une remarque sur l'hérédité pour l'encadrement par récurrence.
un+1 = f(un) \; avec \; f(x) = (x+1)

La fonction f est croissante sur [-1;+[.
En posant \; a = (1+5)/2 , on a \; f(a) = a.

Si \; 1 < un a
alors \; f(1) < f(un) f(a) .
Ce qui donne \; 2 < un+1 a .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 21-02-20 à 08:37

Une quantité conjuguée de \; \sqrt{u_{n}+1} - u_{n} \; est \; \sqrt{u_{n}+1} + u_{n} .

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 21-02-20 à 08:38

ok j'ai compris!
(\sqrt{u_n{}+1}+u_n{})(\sqrt{u_n{}+1}-u_n{})/ (\sqrt{u_n{}+1}+u_n{})

(u_n+1-u_n^2{}{})/ (\sqrt{u_n{}+1}+u_n{})

-(-u_n+1+u_n^2{}{})/ (\sqrt{u_n{}+1}+u_n{})

merci! j'avance un peu et je repasse!

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 21-02-20 à 08:49

Merci pour la demonstration f(a)<f(un)<=f(a)
avec f croissante ..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 21-02-20 à 09:14

De rien, mais c'est plutôt \; f(un) f(a) = a \;

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 23-02-20 à 09:37

ok merci.
La suite :  on doit resoudre x^2-x+1=0 puis faire le tableau de signes. ça c'est ok.
ensuite on doit deduire le signe de u_{n+1}-u_n{} sachant que c'est egal à :

\frac{-p(u_n{)}}{\sqrt{u_n{+1}}+u_n{}}

x2-x+1 = (x-(1+sqrt(5)/2)(x+(1+sqrt(5))/2). Le denominateur etant tjs >0 il suffit d'etudier le signe du numérateur. Pour faire simple j'ai trouvé - + -, le + entre les 2 racines.
Ensuite pour le sens de variation que faut il faire? et on doit montrer que
u_n{} converge à l'aide d'un theoreme..(decroissante et minorée par 1 je pense)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 23-02-20 à 09:53

Bonjour,
Ne raconte pas l'énoncé, recopie-le au mot près.
Et ne le distille pas question par question.

Posté par
Jessi16vss
re : recurrence 23-02-20 à 10:26

Bonjour,
oui mais j'avance à mon rythme donc je procède comme ça

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 23-02-20 à 11:10

Pas nous
Recopie les questions sans les raconter. Pas de "j'ai une suite" ou "on doit resoudre" ...
Pour nous, connaître l'exercice dans sa globalité est important pour pouvoir mieux t'aider.
Ça nous permet d'avoir l'état d'esprit de la chose. Dans quelle direction veut amener l'énoncé.
D'ailleurs, quand tu démarres un exercice, tu devrais toujours commencer par lire l'énoncé en entier.
Et il arrive que le résultat d'une question soit écrit plis loin !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 23-02-20 à 11:11

Plus loin

J'attends pour répondre que tu recopies les questions de 9h37 au mot près.

Posté par
carpediem
re : recurrence 23-02-20 à 11:15

et la fin du sujet !!



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