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récurrence

Posté par
kiwilimpide
13-09-21 à 14:10

Bonjour,
J'ai un exercice de spécialité maths
"Considérons la proposition P:n!≥2^(n-1) pour n appartient à N*
Démontrer cette propriété P à l'aide d'un raisonement par récurrence"
J'ai fais l'initialisation au rang 1 mais je ne sais pas comment prouver que ça marche au rang n+1.
Merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 13-09-21 à 14:46

Bonjour, donc tu dois montrer que (n+1)! 2n


Pars de (n+1)!, utilise ton hypothèse de récurrence ...

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 13-09-21 à 14:49

Mais je fais quoi avec (n+1)!

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 13-09-21 à 15:15

(n+1)! = (n+1)n! et là tu utilises ton hypothèse de récurrence pour minorer n!

Posté par
malou Webmaster
re : récurrence 13-09-21 à 15:23

bonjour

c'est exactement ce qu'on lui a déjà dit sur un autre site...

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 13-09-21 à 15:36

oui mais je comprend pas ce que ça veut dire de minorer n

Posté par
malou Webmaster
re : récurrence 13-09-21 à 16:24

ben trouver quelque chose de plus petit
----------

quand tu écris n! 2^(n-1)
eh bien n! majore le membre de droite (car il lui est plus grand)
et 2^(n-1) minore le membre de gauche (car il lui est plus petit)

edit

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 14-09-21 à 11:17

maintenant lance-toi, regarde ce que ça donne :

(n+1)! = (n+1) n! .... ?

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 14-09-21 à 11:23

≥2 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 14-09-21 à 11:31


n'écris pas n'importe quoi, utilise ton hypothèse de récurrence qui est que n! 2n-1

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 14-09-21 à 11:37

je ne comprend rien honnêtement

Posté par
bernardo314
re : récurrence 14-09-21 à 13:30

Bonjour,

Dans une preuve par récurrence : tu supposes savoir au rang  n  que  n! > 2n-1    et tu veux  prouver l''inégalité au rang suivant c'est  à  dire  (n+1)!  > 2n.

Or  pour passer du membre de gauche de la première inégalité au membre de gauche de la deuxième, il suffit de faire une multiplication par  n   donc...

** (Modération) C'est plutôt une multiplication par n+1 **

Posté par
malou Webmaster
re : récurrence 14-09-21 à 13:51

regarde comment on rédige proprement, cela va t'aider
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 14-09-21 à 19:38

Donc (n+1)! = (n+1)n! ≥ 2x2^(n-1)
là je bloque

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 14-09-21 à 20:37

(n+1)! = (n+1)n! (n+1) 2n-1

et après il te suffit de dire que n+1 2 pour en déduire que c'est superieur à 2*2n-1 = 2n

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 15-09-21 à 22:38

je doit le finir pour demain et je suis complètement perdu

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 15-09-21 à 23:10

Mon post précédent te donne la solution pourtant, qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 15-09-21 à 23:13

2^n-1 × 2 ça fais 2^n ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : récurrence 15-09-21 à 23:14

oui, simple application de la formule : an * am = a n+m

Posté par
kiwilimpide
re : récurrence 15-09-21 à 23:15

d'accord c'est bon j'ai trouvé le résultat merci beaucoup



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