Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

recurrence

Posté par
machin95
01-11-21 à 11:48

Pouvez-vous m'aider pour mon exercice:


Soit la suite (un) d ́efinie par u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 + un.
Calculer les termes de la suite jusqu'`a u6.
Que peut-on conjecturer sur le PGCD de un et un+1 pour tout entier naturel n ?
On d ́efinit la suite (vn) par vn = u2n − un+1 × un−1 pour tout entier naturel n non nul. a) D ́emontrer que, pour tout entier naturel n non nul, vn+1 = −vn.
b) En d ́eduire que, pour tout entier naturel n non nul,
c) En d ́eduire que PGCD(un; un+1) = 1.
u2n − un+1 × un−1 = (−1)n−1 .

merci d'avance

Posté par
carpediem
re : recurrence 01-11-21 à 11:50

salut

ce n'est pas compréhensible sans écrire des indices correctement ...

tu as tous les outils en bas de ce cadre de rédaction sinon utilise des parenthèses !!

u(n + 2) = u(n + 1) + u(n)

pour la suite on attend que tu nous montre des choses ...

Posté par
malou Webmaster
re : recurrence 01-11-21 à 11:53

Bonjour à tous les deux,

 recurrence

Posté par
machin95
re : recurrence 01-11-21 à 12:05

Soit la suite u(n) definie par u(0) = 0, u(1) = 1 et, pour tout entier naturel n, u(n+2) = u(n+1) + u(n.)
Calculer les termes de la suite jusqu'à u(6).
Que peut-on conjecturer sur le PGCD de u(n) et u(n+1) pour tout entier naturel n ?
On definit la suite v(n) par v(n) = u(n )^2− u(n+1) × u(n−1) pour tout entier naturel n non nul.
a) D ́emontrer que, pour tout entier naturel n non nul, v(n+1) = −v(n).
b) En d ́eduire que, pour tout entier naturel n non nul,
    u(n)^2 − u(n+1) × u(n−1) = (−1)^n−1
c) En deduire que PGCD(u(n); u(n+1)) = 1.




J'ai réussi à calculer les six premier thermes et à conjecturer mais je n'arrive pas aux questions a b et c.
Je sais juste qu'il faut utiliser une récurrence pour la a mais je ne vois pas comment faire.

merci

Posté par
carpediem
re : recurrence 01-11-21 à 12:20

et quelle est ta conjecture ?

v(n) = u(2n) - v(n + 1)v(n - 1)

v(n + 1) = ... = ...

Posté par
machin95
re : recurrence 01-11-21 à 12:27

je crois que PGCD( u(n);u(n+1)) =1

mais je me trompe peut-être

Posté par
carpediem
re : recurrence 01-11-21 à 12:30

il ne faut pas croire il faut en être sûr !!!

émettre une conjecture c'est affirmer quelque chose (au vu de tes premiers résultats) ...e t puis c'est tout !!

ensuite on verra si on peut prouver ou non cette affirmation ...

Posté par
machin95
re : recurrence 01-11-21 à 12:30

je crois que PGCD(u(n);u(n+1))=1

Mais c'est peut-être faux

Posté par
machin95
re : recurrence 01-11-21 à 12:34

ah d'accord
bah d'après les 6 premiers thermes le PGCD est de 1
car u(0)=0; u(1)=1;u(2)=1;u(3)=2; u(4)=3; u(5)=5; u(6)=8

Posté par
machin95
re : recurrence 02-11-21 à 10:36

Après je ne vois pas comment faire les autres questions.
Pouvez-vous m'aider ?

Posté par
carpediem
re : recurrence 02-11-21 à 10:46

machin95 @ 01-11-2021 à 12:34

d'après les 6 premiers thermes tu fais tes exercices en prenant un bain le PGCD est de 1
car u(0)=0; u(1)=1;u(2)=1;u(3)=2; u(4)=3; u(5)=5; u(6)=8
ok

ensuite :
carpediem @ 01-11-2021 à 12:20

v(n) = u(2n) - v(n + 1)v(n - 1)

v(n + 1) = ... = ...

Posté par
machin95
re : recurrence 02-11-21 à 10:53


alors v(n+1)= u(n+1)^2-u(n+2) x u(n)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 02-11-21 à 11:01

Bonjour à tous les eux.
@carpediem,
Il n'y aurait pas une coquille dans " v(n) = u(2n) - v(n + 1)v(n - 1) " ?
La définition de v(n) est " v(n) = u(n )^2− u(n+1) × u(n−1) ".
Mais une subtilité m'a peut-être échappé.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : recurrence 02-11-21 à 11:03

@machin95,
Ce que tu as écrit à 10h53 est correct.
Je laisse carpediem réagir.

Posté par
carpediem
re : recurrence 02-11-21 à 11:12

ahhrrggg merci Sylvieg

ha c'est un carré !!!

je reprends :

v(n) = u(n)^2 - u(n + 1)u(n - 1)

machin95 ok :  v(n + 1) =[u(n + 1)]^2 - u(n + 2)u(n) = ... ?

car tu sais que u(n + 2) = ...

Posté par
machin95
re : recurrence 02-11-21 à 11:25

Comme u(n+2)=u(n+1)+u(n)
alors v(n+1)= u(n+1)^2 - (u(n+1)+u(n)) x u(n)
donc v(n+1) = u(n+1)^2 - u(n+1) x u(n) + u(n)^2

Posté par
carpediem
re : recurrence 02-11-21 à 11:48

et tu sais aussi que u(n + 1) = ...

donc remplace à nouveau  ...

PS : n'oublie pas que tu sais ce que tu dois trouver (voir énoncé) ...

Posté par
machin95
re : recurrence 02-11-21 à 11:59

je vois pas trop ce qu'il faut faire, pouvez-vous m'aider un peu plus je suis perdue à partir de ce point

Posté par
carpediem
re : recurrence 02-11-21 à 12:11

machin95 @ 01-11-2021 à 11:48

́ montrer que, pour tout entier naturel n non nul, vn+1 = −vn.

Posté par
machin95
re : recurrence 02-11-21 à 12:14

alors je trouve -v(n)= -(u(n)^2- u(n+1) x u(n-1)
mais je trouve pas que v(n+1) = v'n)

Posté par
carpediem
re : recurrence 02-11-21 à 12:41

machin95 @ 02-11-2021 à 11:25

donc v(n+1) = u(n+1)^2 - u(n+1) x u(n) + u(n)^2

et tu veux
machin95 @ 02-11-2021 à 12:14

-v(n)= -(u(n)^2- u(n+1) x u(n-1)

et
carpediem @ 02-11-2021 à 11:48

et tu sais aussi que u(n + 1) = ...

donc remplace à nouveau  ...

PS : n'oublie pas que tu sais ce que tu dois trouver (voir énoncé) ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !