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Récurrence
Bonjour a tous j'aurai besoin d'un petit peu d'aide pour un dm que je dois rendre sur les suites voici l'énoncé :
On considère la suite de nombres réels Un définie sur N par :
Uo=-1 et u1=1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)
1.) Calculer U2 et en déduire que la suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2.) On définit la suite Un en posant, pour tout entier n :
Vn= Un+1-1/2(Un)
(a)Calculer Vo
(b) Exprimer Un+1 en fonction de Vn.
(c) En déduire que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
(d) Exprimer Vn en fonction de n.
3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n :
Wn= (Un/Vn)
(a) Calculer Wo
(b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn+1/2(Un), exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn.
(c) En déduire que pour tout n de N, Wn+1=Wn+2
(d) Exprimer Wn en fonction de n.
4.) Démontrer que pour tout entier naturel n
Un= (2n-1)/2^n
5) Pour tout entier naturel n on pose Sn = sigma (k=0 k=n)uk = u0+u1+...+un
Démontrer par récurrence que pour tout n de N : Sn = 2-[(2n+3)/2^n]
J'ai réussi toutes les questions jusqu'à la 5 ils me faudrait de l'aide pour cette dernière question merci d'avance 😊
Bonjour,
Il n'y a pas de difficulté particulière pour cette question.
As-tu traité l'initialisation ?
Avant de te lancer dans l'hérédité, transforme Sn+1 - Sn.
Bonjour, j'avoue que j'ai assez mal compris le chapitre sur la récurrence et j'ai du mal à voir comment on passe d'une étape a une autre et où sont les étapes initialisation hérédité et conclusion...
initialisation
on vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme.
on a la forme première
Si l'on remplace par 0 dans la forme que l'on veut établir, on doit trouver
.
on a donc montré que la proposition est vraie pour .
maintenant, on va supposer que la proposition est vraie pour et l'on va montrer qu'ainsi, elle est vraie aussi pour
.
Sachant que le fait qu'elle soit vraie pour un entraîne qu'elle soit vraie pour le rang d'après, on peut donc dire qu'elle est vraie pour tout
. C'est pour cela qu'il faut la vérifier pour le premier terme.
Calculez
sachant que et
soit
J'ai compris la phase d'initialisation. Pour la partie hérédité j'ai marqué "supposons qu'il existe un entier naturel quelconque noté n tel que Sn = 2-[(2n+3)/2^n]. Ou souhaite alors montrer que Sn+1 = 2-[(2(n+1)+3)/2^n+1]"
Je pense que jusque là c'est bon mais après je suis vraiment perdu je suis pas a l'aise du tout avec les sommes et je n'ai vraiment pas compris ce qu'il fallait faire et comment.
À partir de la définition de obtenue en 4 on écrit
On calcule alors
Vous simplifiez l'expression
vous devez aboutir à
On aura ainsi la même expression que mais au rang
N'oubliez pas les parenthèses. Dans 2^n+1, il n'y a que en exposant.
Vous êtes sûre qu'en simplifiant l'expression vous tombez bien sur le bon résultat car j'ai essayer et a moins d'avoir fait une erreur je n'ai pas le résultat souhaiter regardez :
Sn+1 = Sn + un+1
= 2 - [(2n+3)/2^n] + (2n+2-1)/2^n+1
Pour réduire au même dénominateur j'ai multiplié le membre de gauche par 2 en haut et en bas pour mettre le tout sur 2^n+1. J'ai donc obtenu
2-(4n+6+2n+2-1)/2^n+1
= 2-(6n+7)/2^n+1
Je n'obtiens pas du tt le résultat qu'il faudrait et je ne comprends pas trop pourquoi
Il faut revoir le signe devant un trait de fraction
En changeant l'ordre, ce sera peut-être plus facile
J'ai bien respecté les changements de signe et je tombe tout de même sur
2+[2(n+1)-4n-7]/2^n+1
Je ne vois vraiment pas...
Avez vous fait et reussi le calcul ? Si oui pourrais-je avoir le détail de votre calcul cela m'aiderai grandement. Merci beaucoup !
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