Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Récurrence

Posté par
Judic
21-09-22 à 14:38

Bonjour a tous j'aurai besoin d'un petit peu d'aide pour un dm que je dois rendre sur les suites voici l'énoncé :

On considère la suite de nombres réels Un définie sur N par :

     Uo=-1 et u1=1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)

1.) Calculer U2 et en déduire que la suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2.) On définit la suite Un en posant, pour tout entier n :

               Vn= Un+1-1/2(Un)

(a)Calculer Vo
(b) Exprimer Un+1 en fonction de Vn.
(c) En déduire que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
(d) Exprimer Vn en fonction de n.

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n :

                Wn= (Un/Vn)

(a) Calculer Wo
(b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn+1/2(Un), exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn.
(c) En déduire que pour tout n de N, Wn+1=Wn+2
(d) Exprimer Wn en fonction de n.

4.) Démontrer que pour tout entier naturel n

Un= (2n-1)/2^n

5) Pour tout entier naturel n on pose Sn = sigma (k=0 k=n)uk  = u0+u1+...+un
Démontrer par récurrence que pour tout n de N : Sn = 2-[(2n+3)/2^n]

J'ai réussi toutes les questions jusqu'à la 5 ils me faudrait de l'aide pour cette dernière question merci d'avance 😊

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 15:01

Bonjour

\sum_{k=0}^{k=n} u_k=2-\dfrac{2n+3}{2^n} hypothèse de récurrence

\sum_{k=0}^{k=n+1} u_k=\sum_{k=0}^{k=n} u_k+u_{n+1}


u_n=\dfrac{2n-1}{2^n} d'où u_{n+1}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence 21-09-22 à 15:07

Bonjour,
Il n'y a pas de difficulté particulière pour cette question.
As-tu traité l'initialisation ?
Avant de te lancer dans l'hérédité, transforme Sn+1 - Sn.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence 21-09-22 à 15:09

Bonjour hekla
Je n'avais pas vu ton message.
Je te laisse poursuivre.

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 15:11

Bonjour Sylvieg

Posté par
Judic
re : Récurrence 21-09-22 à 15:33

Bonjour, j'avoue que j'ai assez mal compris le chapitre sur la récurrence et j'ai du mal à voir comment on passe d'une étape a une autre et où sont les étapes initialisation hérédité et conclusion...

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 15:54

initialisation
on vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme.

S_0=u_0

on a la forme première   u _0=-1

Si l'on remplace n par 0 dans la forme que l'on veut établir, on doit trouver -1.

S_0=\sum_{k=0}^{k=0} u_k=2-\dfrac{2\times 0+3}{2^0}=2-\dfrac{3}{1}=-1

on a donc montré que la proposition est vraie pour n=0.

maintenant, on va supposer que la proposition est vraie pour n et l'on va montrer qu'ainsi, elle est vraie aussi pour n+1.

Sachant que le fait qu'elle soit vraie pour un n entraîne qu'elle soit vraie pour le rang d'après, on peut donc dire qu'elle est vraie pour tout n. C'est pour cela qu'il faut la vérifier pour le premier terme.

Calculez  \sum_{k=0}^{k=n+1} u_k=\sum_{k=0}^{k=n} u_k+u_{n+1}

sachant que \sum_{k=0}^{k=n} u_k=2-\dfrac{2n+3}{2^n}  et u_n=\dfrac{2n-1}{2^n} soit u_{n+1}=

Posté par
Judic
re : Récurrence 21-09-22 à 17:56

J'ai compris la phase d'initialisation. Pour la partie hérédité j'ai marqué "supposons qu'il existe un entier naturel quelconque noté n tel que Sn = 2-[(2n+3)/2^n]. Ou souhaite alors montrer que Sn+1 = 2-[(2(n+1)+3)/2^n+1]"
Je pense que jusque là c'est bon mais après je suis vraiment perdu je suis pas a l'aise du tout avec les sommes et je n'ai vraiment pas compris ce qu'il fallait faire et comment.

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 18:12

À partir de la définition de u_n obtenue en 4 on écrit

u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}

On calcule alors S_{n+1}

\sum_{k=0}^{k=n+1} u_k=2-\dfrac{2n+3}{2^n}+\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}

Vous simplifiez l'expression

vous devez aboutir à

\sum_{k=0}^{k=n+1} u_k=2-\dfrac{2(n+1)+3}{2^{n+1}}

On aura ainsi la même expression que S_n mais au rang n+1

N'oubliez pas les parenthèses.  Dans 2^n+1, il n'y a que n en exposant.

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 18:14

C'est plutôt

on suppose P(n) vraie et l'on montre que P(n+1) est vraie

P(n) : \sum_{k=0}^{k=n} u_k=2-\dfrac{2n+3}{2^n}

Posté par
Judic
re : Récurrence 21-09-22 à 18:35

Vous êtes sûre qu'en simplifiant l'expression vous tombez bien sur le bon résultat car j'ai essayer et a moins d'avoir fait une erreur je n'ai pas le résultat souhaiter regardez :
Sn+1 = Sn + un+1
              = 2 - [(2n+3)/2^n] + (2n+2-1)/2^n+1
Pour réduire au même dénominateur j'ai multiplié le membre de gauche par 2 en haut et en bas pour mettre le tout sur 2^n+1. J'ai donc obtenu
2-(4n+6+2n+2-1)/2^n+1
= 2-(6n+7)/2^n+1
Je n'obtiens pas du tt le résultat qu'il faudrait et je ne comprends pas trop pourquoi

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 18:40

Il faut revoir le signe - devant un trait de fraction

En changeant l'ordre, ce sera peut-être plus facile


2+\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n+3}{2^n}

Posté par
Judic
re : Récurrence 21-09-22 à 18:51

J'ai bien respecté les changements de signe et je tombe tout de même sur
2+[2(n+1)-4n-7]/2^n+1
Je ne vois vraiment pas...
Avez vous fait et reussi le calcul ? Si oui pourrais-je avoir le détail de votre calcul cela m'aiderai grandement. Merci beaucoup !

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 19:03

2+\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n+3}{2^n}

2+\dfrac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(2n+3)}{2^{n+1}}

2+\dfrac{2(n+1)-1-2(2n+3)}{2^{n+1}}

2+\dfrac{2n+2-1-4n-6}{2^{n+1}}

Posté par
Judic
re : Récurrence 21-09-22 à 19:20

Super merci infiniment ! Je suis enfin venu à bout de cet exercice 😊👌🏻

Posté par
hekla
re : Récurrence 21-09-22 à 19:27

En partant de ce que vous avez écrit

2+[2(n+1)-4n-7]/2^(n+1)

Un développement que vous n'avez jamais fait

2+[2n+2-4n-7]/2^(n+1)

une simplification

2+[-2n-5]/2^(n+1)

2-(2n+5)/2^(n+1)

enfin 2n+5=2(n+1)+3

Il suffisait de poursuivre

De rien



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !