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Récurrence

Posté par
Albanmaths2
23-09-22 à 19:27

Bonjour j'aimerai bien un peu d'aide sur l'exercice suivant :
(Vn) est la suite définie sur v0=3 et, pour tout entier naturel n, Vn+1=(2vn+1)/Vn. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, 2<=Vn<=3 (= ou égal)

Soit P(n) : 2<=Vn<=3
Initialisation : P(0)=3 et    2<=3<=3 donc P(o) est vrai

Hérédité : P(n)=>P(n+1)

P(n): 2<=Vn<=3
4<=2Vn<=6
5<=2Vn+1<=7
    <=(2Vn+1)/Vn<=
Voilà ici je suis bloqué je ne peux pas diviser par Vn donc je ne sais pas comment continuer.
Quand j'ai ce genre d'exercices avec des inégalités j'ai du mal à faire le raisonnement par récurrence. Merci par avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Récurrence 23-09-22 à 19:54

Bonjour,

une idée possible :

Vn+1=(2Vn+1)/Vn = 2 + 1/Vn

or Vn étant > 0 pour tout n (le justifier)
2<=Vn<=3 equivaut à 1/3<=1/Vn<=1/2

raisonner sur 1/Vn pour en déduire un encadrement de 1/Vn+1,
et par conséquent celui sur Vn+1

Posté par
mathafou Moderateur
re : Récurrence 23-09-22 à 20:03

edit : ... raisonner sur 1/Vn pour en déduire l'encadrement de Vn+1 (direct)
(le détour par 1/Vn+1 inutile)

Posté par
Albanmaths2
re : Récurrence 23-09-22 à 20:56

Ok, alors j'ai tenté quelque chose
2<=Vn<=3
1/2>=1/Vn>=1/3
5/2>=1/Vn+2>=7/3

avec Vn différent de 0 car c'est une valeur interdite pour la fonction inverse .

Je ne sais pas du tout si ce que j'ai fait est valable

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence 23-09-22 à 20:58

Bonjour,
Une autre idée :
Transformer vn+1 - 2 puis déterminer son signe.
Idem avec 3 - vn+1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence 23-09-22 à 21:02

Messages croisés.
Ce que tu as fait est valable car vn > 0 d'après l'hypothèse de récurrence.
Tu peux évoquer le sens de variation de la fonction inverse sur ]0; +[.

Je m'éclipse pour laisser mathafou, que je salue, poursuivre

Posté par
mathafou Moderateur
re : Récurrence 23-09-22 à 21:12

il est d'usage d'écrire les inégalités d'un encadrement dans le bon sens
a < V < b, et pas b > V > a

bein c'est presque terminé puisque 2 + 1/Vn c'est Vn+1 !

par contre il ne suffit pas de "dire comme ça" que Vn différent de zéro,
il faut le prouver
ça peut se faire là aussi par une récurrence (immédiat)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Récurrence 23-09-22 à 21:15

PS : le Vn > 0 strictement est inclus dans l'hypothèse de récurrence, effectivement, vu que 0 < 2 strictement ...

Posté par
Albanmaths2
re : Récurrence 24-09-22 à 16:05

Très bien merci donc pour finir :
2<=7/3<=1/Vn+2<=5/2<=3
Ainsi, on retrouve bien P(n+1) donc l'hérédité est démontrée et P(0) étant vraie, la propriété est vrai.

Cependant si j'ai une suite telle que Vn+1=(2Vn+1)/(Un+2) je peux procéder de la même manière en réécrivant la suite telle Vn=1/(Vn+2)+2 ?

Posté par
co11
re : Récurrence 24-09-22 à 20:41

Bonsoir,

Si 2 vn 3
on obtient : 5 2vn + 1 7 et 1/3 1/vn 1/2
Ce qui donne seulement : 5/3 vn+1 7/2 , si je ne me trompe .... ,
Alors problème avec 7/2 = 3,5 > 3

Je ne ne vois pas d'autre solution  qu'étudier les variations de la fonction définie par f(x) = (2x+1)/x

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence 24-09-22 à 21:04

Bonsoir,
Je préfère noter w cette nouvelle suite.
Si wn+1 = (2wn+1)/(wn+2)
alors wn+1= 2 - 3/(wn+2).

Une remarque :
Si de plus on a w0 > 0 alors tous les wn sont positifs, par récurrence.
wn+1 - 2 = -3/(wn+2) est donc négatif.
D'où wn+1 < 2.

Posté par
Albanmaths2
re : Récurrence 25-09-22 à 09:08

Bonjour, j'ai compris le raisonnement mais ce qui me bloque c'est d'arriver à écrire Wn+1 comme égal à 2-3/(Wn+2). Comment parvient-on à cela ? Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence 25-09-22 à 09:15

Bonjour

en passant, petit dépannage

tu t'arranges pour faire apparaître au numérateur ton dénominateur à un coefficient près
comme tu as au numérateur un 2Wn , l'idée est d'écrire 2Wn+4

Wn+1 = (2Wn+1)/(Wn+2) = (2Wn+4-3)/(Wn+2)=(2(Wn+2)-3)/(Wn+2)=...

vois-tu mieux ?

Posté par
Albanmaths2
re : Récurrence 26-09-22 à 19:08

Ok je crois avoir compris le principe,  sur l'expression :  un=(1+3un)/(3+un) cela donnerait :
((3+un)+2un-2)/(3+un)=1+ (2(un-1)/3+un ?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence 26-09-22 à 19:55

avec des parenthèses (manquantes) à la fin

oui, ça donne ça, mais sur cet exemple là, cela n'a pas beaucoup d'intérêt, mais effectivement c'est le principe

Posté par
Albanmaths2
re : Récurrence 26-09-22 à 21:19

Ok très bien merci beaucoup pour votre aide, bonne soirée.

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence 26-09-22 à 21:23

Je t'en prie
À une autre fois sur l'



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