Bonjour,

une idée possible :

V_n+1=(2V_n+1)/V_n = 2 + 1/V_n

or V_n étant > 0 pour tout n (le justifier)
2<=V_n<=3 equivaut à 1/3<=1/V_n<=1/2

raisonner sur 1/V_n pour en déduire un encadrement de 1/V_n+1,
et par conséquent celui sur V_n+1

edit : ... raisonner sur 1/V_n pour en déduire l'encadrement de V_n+1 (direct)
(le détour par 1/V_n+1 inutile)

Ok, alors j'ai tenté quelque chose
2<=V_n<=3
1/2>=1/Vn>=1/3
5/2>=1/V_n+2>=7/3

avec Vn différent de 0 car c'est une valeur interdite pour la fonction inverse .

Je ne sais pas du tout si ce que j'ai fait est valable

Bonjour,
Une autre idée :
Transformer v_n+1 - 2 puis déterminer son signe.
Idem avec 3 - v_n+1.

Messages croisés.
Ce que tu as fait est valable car v_n > 0 d'après l'hypothèse de récurrence.
Tu peux évoquer le sens de variation de la fonction inverse sur ]0; +[.

Je m'éclipse pour laisser mathafou, que je salue, poursuivre

il est d'usage d'écrire les inégalités d'un encadrement dans le bon sens
a < V < b, et pas b > V > a

bein c'est presque terminé puisque 2 + 1/V_n c'est V_n+1 !

par contre il ne suffit pas de "dire comme ça" que V_n différent de zéro,
il faut le prouver
ça peut se faire là aussi par une récurrence (immédiat)

PS : le V_n > 0 strictement est inclus dans l'hypothèse de récurrence, effectivement, vu que 0 < 2 strictement ...

Très bien merci donc pour finir :
2<=7/3<=1/V_n+2<=5/2<=3
Ainsi, on retrouve bien P(n+1) donc l'hérédité est démontrée et P(0) étant vraie, la propriété est vrai.

Cependant si j'ai une suite telle que V_n+1=(2V_n+1)/(U_n+2) je peux procéder de la même manière en réécrivant la suite telle V_n=1/(V_n+2)+2 ?

Bonsoir,

Si 2 v_n 3
on obtient : 5 2v_n + 1 7 et 1/3 1/v_n 1/2
Ce qui donne seulement : 5/3 v_n+1 7/2 , si je ne me trompe .... ,
Alors problème avec 7/2 = 3,5 > 3

Je ne ne vois pas d'autre solution  qu'étudier les variations de la fonction définie par f(x) = (2x+1)/x

Bonsoir,
Je préfère noter w cette nouvelle suite.
Si w_n+1 = (2w_n+1)/(w_n+2)
alors w_n+1= 2 - 3/(w_n+2).

Une remarque :
Si de plus on a w₀ > 0 alors tous les w_n sont positifs, par récurrence.
w_n+1 - 2 = -3/(w_n+2) est donc négatif.
D'où w_n+1 < 2.

Bonjour, j'ai compris le raisonnement mais ce qui me bloque c'est d'arriver à écrire W_n+1 comme égal à 2-3/(W_n+2). Comment parvient-on à cela ? Merci

Bonjour

en passant, petit dépannage

tu t'arranges pour faire apparaître au numérateur ton dénominateur à un coefficient près
comme tu as au numérateur un 2W_n , l'idée est d'écrire 2W_n+4

W_n+1 = (2W_n+1)/(W_n+2) = (2W_n+4-3)/(W_n+2)=(2(W_n+2)-3)/(W_n+2)=...

vois-tu mieux ?

Ok je crois avoir compris le principe,  sur l'expression :  u_n=(1+3u_n)/(3+u_n) cela donnerait :
((3+u_n)+2u_n-2)/(3+u_n)=1+ (2(u_n-1)/3+u_n ?

avec des parenthèses (manquantes) à la fin

oui, ça donne ça, mais sur cet exemple là, cela n'a pas beaucoup d'intérêt, mais effectivement c'est le principe

Ok très bien merci beaucoup pour votre aide, bonne soirée.

Je t'en prie
À une autre fois sur l'