Bonjour j'aimerai bien un peu d'aide sur l'exercice suivant :
(Vn) est la suite définie sur v0=3 et, pour tout entier naturel n, Vn+1=(2vn+1)/Vn. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, 2<=Vn<=3 (= ou égal)
Soit P(n) : 2<=Vn<=3
Initialisation : P(0)=3 et 2<=3<=3 donc P(o) est vrai
Hérédité : P(n)=>P(n+1)
P(n): 2<=Vn<=3
4<=2Vn<=6
5<=2Vn+1<=7
<=(2Vn+1)/Vn<=
Voilà ici je suis bloqué je ne peux pas diviser par Vn donc je ne sais pas comment continuer.
Quand j'ai ce genre d'exercices avec des inégalités j'ai du mal à faire le raisonnement par récurrence. Merci par avance
Bonjour,
une idée possible :
Vn+1=(2Vn+1)/Vn = 2 + 1/Vn
or Vn étant > 0 pour tout n (le justifier)
2<=Vn<=3 equivaut à 1/3<=1/Vn<=1/2
raisonner sur 1/Vn pour en déduire un encadrement de 1/Vn+1,
et par conséquent celui sur Vn+1
edit : ... raisonner sur 1/Vn pour en déduire l'encadrement de Vn+1 (direct)
(le détour par 1/Vn+1 inutile)
Ok, alors j'ai tenté quelque chose
2<=Vn<=3
1/2>=1/Vn>=1/3
5/2>=1/Vn+2>=7/3
avec Vn différent de 0 car c'est une valeur interdite pour la fonction inverse .
Je ne sais pas du tout si ce que j'ai fait est valable
Messages croisés.
Ce que tu as fait est valable car vn > 0 d'après l'hypothèse de récurrence.
Tu peux évoquer le sens de variation de la fonction inverse sur ]0; +[.
Je m'éclipse pour laisser mathafou, que je salue, poursuivre
il est d'usage d'écrire les inégalités d'un encadrement dans le bon sens
a < V < b, et pas b > V > a
bein c'est presque terminé puisque 2 + 1/Vn c'est Vn+1 !
par contre il ne suffit pas de "dire comme ça" que Vn différent de zéro,
il faut le prouver
ça peut se faire là aussi par une récurrence (immédiat)
PS : le Vn > 0 strictement est inclus dans l'hypothèse de récurrence, effectivement, vu que 0 < 2 strictement ...
Très bien merci donc pour finir :
2<=7/3<=1/Vn+2<=5/2<=3
Ainsi, on retrouve bien P(n+1) donc l'hérédité est démontrée et P(0) étant vraie, la propriété est vrai.
Cependant si j'ai une suite telle que Vn+1=(2Vn+1)/(Un+2) je peux procéder de la même manière en réécrivant la suite telle Vn=1/(Vn+2)+2 ?
Bonsoir,
Si 2 vn
3
on obtient : 5 2vn + 1
7 et 1/3
1/vn
1/2
Ce qui donne seulement : 5/3 vn+1
7/2 , si je ne me trompe .... ,
Alors problème avec 7/2 = 3,5 > 3
Je ne ne vois pas d'autre solution qu'étudier les variations de la fonction définie par f(x) = (2x+1)/x
Bonsoir,
Je préfère noter w cette nouvelle suite.
Si wn+1 = (2wn+1)/(wn+2)
alors wn+1= 2 - 3/(wn+2).
Une remarque :
Si de plus on a w0 > 0 alors tous les wn sont positifs, par récurrence.
wn+1 - 2 = -3/(wn+2) est donc négatif.
D'où wn+1 < 2.
Bonjour, j'ai compris le raisonnement mais ce qui me bloque c'est d'arriver à écrire Wn+1 comme égal à 2-3/(Wn+2). Comment parvient-on à cela ? Merci
Bonjour
en passant, petit dépannage
tu t'arranges pour faire apparaître au numérateur ton dénominateur à un coefficient près
comme tu as au numérateur un 2Wn , l'idée est d'écrire 2Wn+4
Wn+1 = (2Wn+1)/(Wn+2) = (2Wn+4-3)/(Wn+2)=(2(Wn+2)-3)/(Wn+2)=...
vois-tu mieux ?
Ok je crois avoir compris le principe, sur l'expression : un=(1+3un)/(3+un) cela donnerait :
((3+un)+2un-2)/(3+un)=1+ (2(un-1)/3+un ?
avec des parenthèses (manquantes) à la fin
oui, ça donne ça, mais sur cet exemple là, cela n'a pas beaucoup d'intérêt, mais effectivement c'est le principe
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