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récurrence

Posté par
MinoReXRoms 13-10-23 à 12:39

Bonjour, je n'arrive pas du tout à résoudre cette exercice ,  Pouvez-vous m'éclairer ?

2. Démontrer par récurrence la formule de la somme des termes d'une suite géométrique de
raison 𝑞 et de premier terme 𝑢0 = 1.
Trouver une autre démonstration de cette formule.

Posté par
heklare : récurrence 13-10-23 à 13:48

Bonjour

Que proposez-vous ?

À quel résultat devez-vous aboutir ?  Cela peut vous donner des idées.

N'y a-t-il pas des conditions sur q ?

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 13-10-23 à 13:55

En réalité je ne sais pas du tout pas ou commencer, car j'ai l'impression de ne pas avoir assez d'information

Posté par
heklare : récurrence 13-10-23 à 14:22

Vous voulez montrer que, si q\not =0 ou q\not=1

u_0+u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n=u_0\times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}



Vous pouvez le faire par récurrence ou par calcul.

On va noter S_n =u_0+u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n

Que vaut alors qS_n ?

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 13:48

voici ce que j'ai débuté. (pdf) je n'arrive pas a aller plus loin, de plus je dois présenter ce travail à l'orale pouvez vous m'aider svp..

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 13:58

Qu'avez-vous effectué  ?
il faut écrire ce que vous avez déjà fait. Les images ne sont pas autorisées pour montrer un travail.

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 14:18

D'accord pardon: alors
quand j'écrit q^k+1 , le "^" représente puissante car je ne sais pas l'écrire autrement

Initialisation :
Pour n= 0
Si  n = 0 alors le côté gauche de l'équation est simplement U0,
, et le côté droit est  U0 x q¹ -1 /q-1 = U0. Donc la formule est vraie pour n =0

Hérédité : Supposons que la propriété vraie au rang k
U0 +U1 + U2+...+Uk-1+Uk= U0 x q^k+1 -1/ q-1.
Montrons que U0 + U1+U2+...Uk +UK+1=UO x q^k+2-1/q-1.

Je suis donc bloqué à cette étape.  SI vous pouviez m'aider.
]


Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 14:30

Montrons par récurrence que

u_0+u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n=u_0\times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}

initiation
n=0\  u_0=1\times\dfrac{ q^{0+1}-1} {q-1}=\dfrac{q-1}{q-1}=1

vrai pour n=0  montrons que si c'est vrai pour n alors c'est vrai aussi pour n+1

u_0+u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n+u_{n+1}= \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}+u_{n+1}

or u_{n+1}=

réduisez au même dénominateur et simplifiez

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 14:46

Oui c'est vrai, j'ai déjà commis une faute car u0 =1. Merci.

Je ne suis pas sur mais pour mettre au même dénominateur

q^n+1 -1/q-1 + Un+1(q-1)/q-1 = q^n+1-1+Un+1(q-1)/q-1

U0(q^n+1-1)=q^n+1-1+Un+1(q-1) .

Un+1=U0(q^n+1-1)-(q^n+1-1)/q-1

Un+1=(U0-1)q^n+1-U0+1/q-1

je suis conscient que ma manière d'écrire n'aide pas, je fais au mieux.

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 14:59

Il manque souvent des parenthèses

Pourquoi tant de u_{n+1} ? une fois que vous avez écrit sa valeur, il ne doit plus apparaître.

u_0+u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n+u_{n+1}= \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}+q^{n+1}=\dfrac{q^{n+1}-1+(q-1)\times q^{n+1}}{q-1}

simplifiez le numérateur.

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 15:11

-1+(q-1)/q-1?

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 15:14

?????
Je n'écris que le numérateur

q^{n+1}-1+q\times q^{n+1}-q^{n+1}=

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 15:22

J'y suis presque mais perdu pour le coup.

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 15:31

La fois précédente, vous avez écrit 0.

Que vaut q\times q^{n+1} ?

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 15:49

Je n'en ai pas la moindre idée. Les calculs me semblent très réduits la je ne comprend plus bien

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 15:56

Dans le cours sur les puissances, vous devez avoir

a\not=0 \ a^m\times a^n=a^{m+n}

  donc q^{n+1}\times q=q^{n+2}

c'est bien ce que vous faites lorsque vous écrivez x^2\times x= x^3

on revient au numérateur

q^{n+1}-1+q\times q^{n+1}-q^{n+1}=

Écrivez le résultat.

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 16:10

$q^n+1 -1 + q^n+2-q^n+1=$

En simplifiant il reste -1 +q^n+2 ?

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 16:16

N'est-ce pas ce que l'on veut ?

u_0+u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n+u_{n+1}= \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}+q^{n+1}=\dfrac{q^{n+1}-1+(q-1)\times q^{n+1}}{q-1}=\dfrac{q^{n+2}-1}{q-1}

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 16:36

d'accord merci beaucoup

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 16:37

Que proposez-vous pour la seconde manière ?

Posté par
malou Webmasterre : récurrence 18-10-23 à 16:47

Bonjour à tous les deux

MinoReXRoms, tu abuses
tu es aidé ici depuis le 13 octobre et tu oses aller demander de l'aide sur un autre site aujourd'hui pour le même exercice.
ne recommence pas ça, tu serais averti

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 21:55

Oui je cherche plusieurs avis/méthode pour résoudre cette exercice. Il n'est pas écrit que nous n'avons pas le droit d'aller sur d'autre site dans les règles, si ?

Posté par
MinoReXRomsre : récurrence 18-10-23 à 22:08

merci de votre aide, par manque de temps(je dois passer demain) je ne pense pas pouvoir avoir le temps de réfléchir à l'autre méthode. vous m'avez déjà bien aidé et vous répondez vite, merci

Posté par
heklare : récurrence 18-10-23 à 22:09

Pour une autre méthode voir 13/10 14 22

Posté par
malou Webmasterre : récurrence 19-10-23 à 08:38

MinoReXRoms si tu avais lu les règles...

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


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