Salut,

eⁿ⁺² = eⁿ⁺¹*e

Donc : si eⁿ⁺¹ > 2n+1  alors  e(eⁿ⁺¹) > e(2n+1)

...

Bonjour,
Il y a un petit "blème" pour l'hérédité si n = 0 .
Je pense qu'il faut démarrer la récurrence à 1 , après avoir vérifié l'inégalité pour n = 1 .

Salut Sylvieg  

Tu peux préciser ? je ne vois pas...

Pour l'hérédité, on voudrait e(2n+1) 2n+3 .
Or pour n = 0 , cette inégalité est fausse car e < 3 .

e(2n+1) - (2n+3) = (e-1)2n + e-3 .
Si n 1 alors (e-1)2n + e-3 2(e-1) + e-3 qui est positif.

Euh...
Pour l'hérédité, on veut plutôt e^(n+1)+1 2(n+1)+1 c'est à dire : eⁿ⁺² 2n+3 , non ?

Oui, mais en utilisant l'hypothèse de récurrence eⁿ⁺¹ 2n+1 :

J'ai claqué tous mes neurones en 2017 ?
Je comprends toujours pas...

si eⁿ⁺¹ > 2n+1  alors  e(eⁿ⁺¹) > e(2n+1)

e(eⁿ⁺¹) = eⁿ⁺²  et  e(2n+1) = 2en+e

Donc eⁿ⁺²  > 2en+e : OK il est là le pb...
Pour moi c'est une grande première : P(0) est vraie mais P(k) vraie --> P(k+1) vraie aussi ne fonctionne pas si k = 0. Jamais vu !

Ce qui ne fonctionne pas, c'est notre manière de faire pour l'hérédité.
D'où ma proposition :
Vérifier l'inégalité eⁿ⁺¹ 2n+1 pour n= 0 et n=1 .
Puis démarrer la récurrence à n = 1 .

Deux remarques :
Avec l'inégalité plus forte eⁿ⁺¹ > 2n+2 , l'hérédité fonctionne.

Par ailleurs, e^x+1 > 2x+1 est vrai pour tout x réel !
Il suffit d'étudier la fonction d définie sur par d(x) = e^x+1 - (2x+1) .

Bonjour Sylvieg,

Je me pose une question :

L'hérédité, on montre bien que

or , n'est pas vraie si , je crois que c'est ce que tu as souligné dans ton premier message.

Par contre je ne comprends pas pourquoi tu dis qu'avec une inégalité stricte ça fonctionne?
Si ça fonctionne avec une inégalité stricte, ça devrait fonctionner avec une inégalité large,non?

Bonjour,
Je n'ai pas dit "avec une inégalité stricte", mais "Avec l'inégalité plus forte".
L'inégalité eⁿ⁺¹ > 2n+2 est plus forte que eⁿ⁺¹ > 2n+1 .

C'est l'hérédité qui fonctionne ou pas pour n = 0 .
Avec eⁿ⁺¹ > 2n+1 il faut démontrer ceci : eⁿ⁺¹ > 2n+1 e^(n+1)+1 > 2(n+1)+1

Alors qu'avec eⁿ⁺¹ > 2n+2 il faut démontrer : eⁿ⁺¹ > 2n+2 e^(n+1)+1 > 2(n+1)+2

ah oui, merci Sylvieg

Bonjour et merci à tous.

Désolé pour revenir si tard sur le sujet.

En effet, j"ai mal lu l'énoncé,  et il est demandé de prouver l"inégalité pour n1.

Une autre technique que l'on peut utiliser est d'étudier la fonction auxiliaire suivante

g(x) =

sur l'intervalle {1; +[

Sa dérivée est :

g'(x) = ,

Or la fonction g'(x) est strictement croissante. En effet:

Soit  , sur l'intervalle {1; +[

On calcule le signe de  :

=  =

et comme la fonction exponentielle est strictement croissante,

<0

donc





Sachant alors que g'(x) est strictement croissante, on calcule g'(1)

g'(1) =>0

donc g'(x) est strictement positive, et en conséquence  g(x) est aussi strictement croissante sur le même intervalle.

On calcule ensuite g(1):

g(1) = qui est une valeur positive.

Donc g(x)>0 pour tout x supérieur à 1.

cela veut dire en fin que

pour tout naturel n supérieur à 1.

et donc   pour tout naturel n supérieur à 1.

Très long pour une simple récurrence mais cela me parait plus sûr.

Merci pour vos commentaires précédents et aussi pour vos avis sur ce que je viens de vous présenter.

Johnny

Bonjour,
Il s'agit de démontrer ou ???

Avec ta fonction g ou ma fonction d ( message du 4 vers 14h ), pas de récurrence.

Citation :
Par ailleurs, e^x+1 > 2x+1 est vrai pour tout x réel !
Il suffit d'étudier la fonction d définie sur par d(x) = e^x+1 - (2x+1) .

Merci pour la simplificacio.

Par rapport à la question, il.faut démontrer par récurrence que . Pour n=1, ok. Le.probleme est pour l'hérédité.

C'est vrai que la fonction auxiliaire permet de le demontrer sans recurrence.

" Démontrer par récurrence que e^x+1 > 2x+1 "
Si c'est pour n 1 , pas de Pb pour l'hérédité. Voir le message du 4 à 16h45.