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récurrence avec e

Posté par
jtorresm
03-01-18 à 21:45

Bonsoir à tous.

J'ai une démostration à faire:

e^{n+1} > 2n+1 pour tout n dans .

l'initialisation, pas de souci.

Pour n=0, e>1

Or l'hérédite c'est toute une autre histoire:

Hypothèse: e^{n+1}> 2n+1

Donc: il faut démontrer que e^{n+2}> 2n+3

je n'ai aucune idéé.

La fonction exponentielle l'emporte sur toute fonction de premier degré mais on peut pas utiliser juste comme justification.

Merci en avance.

Johnnyh

Posté par
Yzz
re : récurrence avec e 03-01-18 à 22:36

Salut,

en+2 = en+1*e

Donc : si en+1 > 2n+1  alors  e(en+1) > e(2n+1)

...

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 04-01-18 à 08:30

Bonjour,
Il y a un petit "blème" pour l'hérédité si  n = 0 .
Je pense qu'il faut démarrer la récurrence à  1 , après avoir vérifié l'inégalité pour  n = 1 .

Posté par
Yzz
re : récurrence avec e 04-01-18 à 08:45

Salut Sylvieg  

Tu peux préciser ? je ne vois pas...

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 04-01-18 à 09:28

Pour l'hérédité,  on voudrait   e(2n+1) 2n+3 .
Or pour  n = 0  , cette inégalité est fausse car  e < 3 .

e(2n+1) - (2n+3)  =  (e-1)2n + e-3 .
Si  n 1  alors  (e-1)2n + e-3    2(e-1) + e-3  qui est positif.

Posté par
Yzz
re : récurrence avec e 04-01-18 à 10:20

Euh...
Pour l'hérédité, on veut plutôt e(n+1)+1 2(n+1)+1 c'est à dire : en+2 2n+3 , non ?

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 04-01-18 à 10:46

Oui, mais en utilisant l'hypothèse de récurrence   en+1     2n+1   :

Citation :
si en+1 > 2n+1  alors  e(en+1) > e(2n+1)
Pour pouvoir continuer :  e(2n+1) 2n+3  

Posté par
Yzz
re : récurrence avec e 04-01-18 à 11:23

J'ai claqué tous mes neurones en 2017 ?
Je comprends toujours pas...

si en+1 > 2n+1  alors  e(en+1) > e(2n+1)

e(en+1) = en+2  et  e(2n+1) = 2en+e

Donc en+2  > 2en+e : OK il est là le pb...
Pour moi c'est une grande première : P(0) est vraie mais P(k) vraie --> P(k+1) vraie aussi ne fonctionne pas si k = 0. Jamais vu !

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 04-01-18 à 11:37

Ce qui ne fonctionne pas, c'est notre manière de faire pour l'hérédité.
D'où ma proposition :
Vérifier l'inégalité   en+1     2n+1   pour  n= 0  et  n=1 .
Puis démarrer la récurrence à  n = 1 .

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 04-01-18 à 13:54

Deux remarques :
Avec l'inégalité plus forte    en+1  >  2n+2  , l'hérédité fonctionne.

Par ailleurs,  ex+1  >  2x+1   est vrai pour tout  x  réel !
Il suffit d'étudier la fonction  d  définie sur    par  d(x)  =  ex+1  - (2x+1) .

Posté par
mousse42
re : récurrence avec e 04-01-18 à 14:26

Bonjour Sylvieg,

Je me pose une question :

L'hérédité, on montre bien que \forall n\in \mathbb{N},\quad P(n)\implies P(n+1)

or 2ne+e>2n+3, n'est pas vraie si n=0, je crois que c'est ce que tu as souligné dans ton premier message.

Par contre je ne comprends pas pourquoi tu dis qu'avec une inégalité stricte ça fonctionne?
Si ça fonctionne avec une inégalité stricte, ça devrait fonctionner avec une inégalité large,non?

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 04-01-18 à 16:42

Bonjour,
Je n'ai pas dit "avec une inégalité stricte", mais "Avec l'inégalité plus forte".
L'inégalité      en+1  >  2n+2    est plus forte que    en+1  >  2n+1 .

C'est l'hérédité qui fonctionne ou pas pour  n = 0 .
Avec   en+1  >  2n+1    il faut démontrer ceci :    en+1  >  2n+1       e(n+1)+1  >  2(n+1)+1  

Alors qu'avec    en+1  >  2n+2    il faut démontrer :    en+1  >  2n+2       e(n+1)+1  >  2(n+1)+2

Posté par
mousse42
re : récurrence avec e 04-01-18 à 16:45

ah oui, merci Sylvieg

Posté par
jtorresm
re : récurrence avec e 06-01-18 à 09:01

Bonjour et merci à tous.

Désolé pour revenir si tard sur le sujet.

En effet, j"ai mal lu l'énoncé,  et il est demandé de prouver l"inégalité pour n1.

Une autre technique que l'on peut utiliser est d'étudier la fonction auxiliaire suivante

g(x) = e^{x+2}-(2x+3)

sur l'intervalle {1; +[

Sa dérivée est :

g'(x) = e^{x+2}-2,

Or la fonction g'(x) est strictement croissante. En effet:

Soit  x_1<x_2, sur l'intervalle {1; +[

On calcule le signe de  g'(x_1)-g'(x_2):

(e^{x_1+2}-2)-(e^{x_2+2}-2)=  e^{x_1+2}-e^{x_2+2}= e^2(e^{x_1}-e^{x_2})

et comme la fonction exponentielle est strictement croissante,

e^{x_1}-e^{x_2}<0

donc

g'(x_1)-g'(x_2)<0

g'(x_1)<g'(x_2)

Sachant alors que g'(x) est strictement croissante, on calcule g'(1)

g'(1) =e^2 - 2>0

donc g'(x) est strictement positive, et en conséquence  g(x) est aussi strictement croissante sur le même intervalle.

On calcule ensuite g(1):

g(1) =e^3-3 qui est une valeur positive.

Donc g(x)>0 pour tout x supérieur à 1.

cela veut dire en fin que

e^{n+2}-(2n+3)>0 pour tout naturel n supérieur à 1.

et donc  e^{n+2}>(2n+3) pour tout naturel n supérieur à 1.

Très long pour une simple récurrence mais cela me parait plus sûr.

Merci pour vos commentaires précédents et aussi pour vos avis sur ce que je viens de vous présenter.

Johnny

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 06-01-18 à 09:26

Bonjour,
Il s'agit de démontrer    e^{n+1} > 2n+1     ou     e^{n+2} > 2n+3   ???

Avec ta fonction g ou ma fonction d  ( message du  4  vers 14h ), pas de récurrence.

Citation :
Par ailleurs,  ex+1  >  2x+1   est vrai pour tout  x  réel !
Il suffit d'étudier la fonction  d  définie sur    par  d(x)  =  ex+1  - (2x+1) .  


Par ailleurs, pour le signe de   e x+2 - 2 ,  inutile d'écrire des choses aussi compliquées :
x    1   donc   x+2 > 1     donc   ex+2   e1  > 2

Posté par
jtorresm
re : récurrence avec e 06-01-18 à 12:45

Merci pour la simplificacio.

Par rapport à la question, il.faut démontrer par récurrence que e^{x+1>2x+1. Pour n=1, ok. Le.probleme est pour l'hérédité.

C'est vrai que la fonction auxiliaire permet de le demontrer sans recurrence.

Posté par
Sylvieg
re : récurrence avec e 06-01-18 à 14:10

" Démontrer par récurrence que  ex+1 > 2x+1 "
Si c'est pour  n 1 , pas de Pb pour l'hérédité. Voir le message du 4 à 16h45.

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