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Récurrence avec epsilon ?

Posté par
Bison 13-11-10 à 19:00

J'ai un exercice où je suis bloqué.

Démontrer que, pour tout n, n0,

k2= [n(n+1)(2n+1)]/6

Au dessus du il y a écrit "n" et en dessous k=1.

Pour l'amorce j'ai pris n=1 car n0
k2=[1(1+1)(2*1+1)]/6=1

J'ai donc mis que la propriété est vérifiée au rang n=1.
J'ai essayé par curiosité au rang n=2 et je trouve 5.. J'ai donc pas compris comment faut il comprendre le k=1 en dessous du epsilon avec le k2.

Pour l'hérédité :
L'hypothèse (rang p) : je trouve [p(2p3+3p2+p]/6
Et la conclusion (rang p+1) : je trouve [2p3+7p2+10p+6]/6

Et là je vois pas quoi faire..

Donc au final : je comprend pas le epsilon et je ne vois pas la relation pour partir de la conclusion en utilisant l'hypothèse.

Posté par
nipargre : Récurrence avec epsilon ? 13-11-10 à 19:10

bonsoir
\Bigsum_{k=1}^n\ k^2 =1^2+2^2+3^2+....+n^2

Posté par
Bisonre : Récurrence avec epsilon ? 13-11-10 à 19:37

Ah ok, elle aurait pu me le dire ma prof.


maintenant faut que j'arrive à trouver comment faut faire

Posté par
nipargre : Récurrence avec epsilon ? 13-11-10 à 20:59

je pose pour alléger l'écriture sn=\bigsum_{k=1}^n \ k^2
vous devez donc démontrer par récurrence que sn==
*s1=\bigsum_{k=1}^1 \ k^2 =1^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}
* si sp=\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}alors sp+1=\frac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}
on remarque que sp+1=sp+(p+1)2
donc sp+1=\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}+(p+1)^2=(p+1)[\frac{p(2p+1)}{6}+(p+1)]=(p+1)[\frac{p(2p+1)+6(p+1)}{6}]
vérifier pour terminer, en développant, que (p+2)(2p+3) est bien égal à p(2p+1)+6(p+1)

Posté par
Bisonre : Récurrence avec epsilon ? 14-11-10 à 11:50

Merci de ta réponse mais j'avais trouvé tout seul !

Posté par
Arhre : Récurrence avec epsilon ? 29-10-20 à 12:43

Bonjour, la publication date de longtemps mais je vien de la voir et j'avais une question.
Si je comprend bien, à la fin vous avez décomposer (p+1)^2  = (p+1) *(p+1) puis vous avez séparé un (p+1) pour l'additionner avec le la fraction. Mais la multiplication entre ces 2 parenthèses elle n'est pas prioritaire à l'addition ?

Posté par
bbjhakanre : Récurrence avec epsilon ? 29-10-20 à 13:46

bonjour
je ne sais pas si c'est ça qui vous bloque mais  il s'agit d'une factorisation puisque le facteur (p+1) est commun aux deux termes de la somme

Posté par
Arhre : Récurrence avec epsilon ? 29-10-20 à 14:08

Ahh ouii merci


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