Bonjour,

Soit n un entier naturel. Montrer que la famille (e₀...e_n) est libre, où e_k est la fonction qui a x associe exp(kx).

En raisonnant par récurrence,

Soit m un entier dans [0,n-1], On suppose que la famille (e₀...e_m) est libre.

Alors en dérivant une combinaison linéaire nulle des e_k jusqu'à m+1, et en lui soustrayant la combinaison initiale multipliée par (m+1) (pour retrouver une somme jusqu'à m), en utilisant l'hypothèse de récurrence, on montre que tous les coefficients sauf le dernier sont nuls, et comme exp n'est pas nulle le dernier aussi.

En fait je ne comprends pas pour quoi on prend un entier m dans [0,n-1] pour faire une récurrence sur lui ?
Alors l'énoncé a déjà fixé n (quelconque), donc on peut pas raisonner sur n, mais on peut prendre un entier m dans N, et raisonner par récurrence sur lui, et en déduire en particulier pour m=n, que c'est vrai aussi.

Je demande car je ne sais pas si quelque chose m'échappe, ça fait plusieurs fois que je vois cette récurence faite comme ça alors que je trouve ça pas intuitif.

Merci