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Récurrence dérivabilité

Posté par
Mathdu13 01-10-16 à 19:58

Bonsoir,

Je fais appel à vous pour m'aider à résoudre le problème suivant :

Donc, on a f(x+1) - f(x) = k(x+1-x)f(x), avec k un réel positif.

On me demande de montrer que f est dérivable, et que pour tout t0, on a f'(x)=kf(x)

Je n'ai jamais eu affaire à une récurrence de ce type, et je suis franchement un peu perdu rien que pour trouver l'hypothèse de récurrence

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 20:08

Bonjour,

Merci de donner l'énoncé complet et précis. L'énoncé ne peut pas être ce que tu as écris ci-dessus.

Nicolas

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:00

Nicolas_75 Bonsoir, effectivement j'ai modifié l'énoncé en pensant que cela m'aiderai plus à comprendre et que cela reviendrait au même...
Voici l'énoncé :

On note N(t) le nombre de noyaux d'un corps radioactif présents à l'instant t.
Les noyaux des atomes se désintègrent selon la loi suivante entre deux instants t1 et t2 :
N(t_{2})-N(t_{1})=k(t_{2}-t_{1})N(t_{1}),
avec k un nombre réel strictement positif.
Montrer que N est dérivable et que pour tout t0, on a : N'(t)=kN(t)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:03

Calcule \lim_{h\to 0}\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} et vérifie que c'est égal à kN(t).

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:19

Merci mais à quoi correspond N ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:20

Euh... tu as lu ton énoncé ?

"On note N(t) le nombre de noyaux d'un corps radioactif présents à l'instant t."

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:35

Oui mais je veux dire littéralement. N(t)= ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:38

On ne sait pas. Et il ne faut pas tenter de l'exprimer.

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:41

Nicolas_75 Très bien donc je vais essayer et je reviens dans quelques minutes   Merci. Mais juste, je dois bien prouver cela à l'aide d'un raisonnement par récurrence ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:44

Non, pas de récurrence.
Exploite plutôt N(t_{2})-N(t_{1})=k(t_{2}-t_{1})N(t_{1})

Posté par
gerrebare : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:48

N'(t) =kN(t) se traduit de façon plus habituelle:y'=ky avec y=f(x)   Dans le cours on voit que les solutions sont de la forme:f(x)=A exponentielle(kx) ,aA étant à préciser.
Ici N(t)=N(0)*exponentielle(kt)    N(0)est le nombre de noyaux à l'instant t=0

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:48

Nicolas_75 Je fais ça

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:50

gerreba Bonsoir et merci de bien vouloir m'aider aussi, je n'ai malheureusement pas encore vu ce qu'était "exponentiell"

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 21:51

L'exponentielle n'est pas utile ici.

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 22:04

Nicolas_75 Je suis navré, vous allez certainement me prendre pour un cancre, mais je n'arrive pas non plus à calculer la limite de la dérivée.... En fait j'ai vu les limites, la dérivation aussi, mais on a jamais apprit à "lier" les deux

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 22:09

On s'intéresse donc à \dfrac{N(t+h)-N(t)}{h}

On utilise la formule N(t_{2})-N(t_{1})=k(t_{2}-t_{1})N(t_{1}) avec t_1=t et t_2=t_1+h

On obtient :
\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = \dfrac{k\, h\, N(t)}{h}
\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = k\, N(t) qui ne dépend pas de h

Donc, de manière évidente : \lim_{h\to 0}\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = k\, N(t)

N'(t) = k\, N(t)

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 22:17

Nicolas_75 Merci beaucoup ! Je vais encore réfléchir dessus car même avec la réponse cela ne me paraît pas évident... Cela dit encore merci

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:07

Nicolas_75 Désolé de vous déranger encore une fois mais comment faites vous pour trouver cela, je veux dire quelles sont les étapes intermédiaires ?

Récurrence dérivabilité

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:14

On s'intéresse donc à \dfrac{N(t+h)-N(t)}{h}

On utilise la formule N(t_{2})-N(t_{1})=k(t_{2}-t_{1})N(t_{1}) avec t_1=t et t_2=t_1+h

On obtient :
\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = \dfrac{k\, ((t+h)-h)\, N(t)}{h} = ...

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:16

Nicolas_75 Ah mais oui ! C'est plus clair tout de suite ! Et pourquoi calculer la limite ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:16

Sinon comment obtenir l'expression de la dérivée ? Il y a bien un passage à la limite, non ?

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:19

Nicolas_75 Et bien je n'ai jamais vu cela... C'est surement pour ça que j'ai eu du mal à appréhender le sujet...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:20

Quelle est ta définition du nombre dérivé ?

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:22

Nicolas_75 Ca remonte à la classe de première mais on m'avait apprit à calculer le taux d'accroissement, dire que "lorsque h tend vers 0, le taux d'accroissement tend vers ... et affirmer que f est dérivable en ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:26

C'est bien ce que nous faisons ici.

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:31

Certes mais la méthode avec la limite me paraît floue, pourrais-je simplement dire que : "Lorsque h tend vers 0, k(N)t tend vers t. Donc N est dérivable pour tout t0" ?

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:32

Nicolas_75 Et je rajoute : On a :

Récurrence dérivabilité

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:33

Tu dis " Lorsque h tend vers 0, k(N)t tend vers t. "

Je ne crois pas.

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:36

Nicolas_75 vers N'(t)*

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:37

Soit t \ge 0.

On s'intéresse donc à \dfrac{N(t+h)-N(t)}{h}

On utilise la formule N(t_{2})-N(t_{1})=k(t_{2}-t_{1})N(t_{1}) avec t_1=t et t_2=t_1+h

On obtient :
\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = \dfrac{k\, ((t+h)-h)\, N(t)}{h}
\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = \dfrac{k\, h\, N(t)}{h}
\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = k\, N(t) qui ne dépend pas de h

Donc, \lim_{h\to 0}\dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} = k\, N(t)

On a donc montré que la fonction N est dérivable en t \ge 0 quelconque, et que le nombre dérivé y est k\, N(t)

La fonction N est donc dérivable sur [0;+\infty[ et N'(t)=k\, N(t)

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 01-10-16 à 23:44

Nicolas_75 Il y a encore là le problème de la limite que je n'arrive pas à interpréter... Mais bon je verrais ça demain (on dit que la nuit porte conseil). Cela dit merci pour votre aide et votre patience remarquable, je sais qu'avec moi cela ne doit pas être évident
Enfin, je vais essayer de m'attarder sur l'autre exercice qui me pose problème : https://www.ilemaths.net/sujet-suite-continue-708185.html (si vous voulez bien y jeter un coup d'oeil).  Encore merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 09:29

Quel est ton souci avec la limite :
a) tu ne comprends pourquoi elle est égale à k.N(t)
ou bien
b) tu ne comprends pas pourquoi on doit passer à la limite ?

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 13:13

Nicolas_75 Je ne comprend effectivement pas la transition à la limite

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 14:43

Je ne comprends pas pourquoi tu parles de "transition".

Quel est ton souci avec la limite :
a) tu ne comprends pourquoi elle est égale à k.N(t)
ou bien
b) tu ne comprends pas pourquoi on doit passer à la limite ?

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:13

b) tu ne comprends pas pourquoi on doit passer à la limite ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:18

OK.
Il faudrait que tu me donnes ta définition de "f est dérivable en un point".

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:27

Nicolas_75 Si f est d´erivable en x0, alors
la courbe représentative de la fonction f admet une tangente au point (x0,f(x0)), de
coefficient directeur f'(x0)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:30

C'est une propriété de la dérivation.
Ce n'est pas la définition.
Tu cherches à démontrer qu'une fonction est dérivable.
Quelle est la définition ?
(limite du taux d'accroissement...)

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:33

f est dérivable en x0 ssi lorsque h tend vers 0, le taux d'accroissement de f entre x0 et x0+h tend vers f'(x0)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:37

Soit t\ge 0.

Pour montrer que N est dérivable en t, il nous faut donc regarder si \dfrac{N(t+h)-N(t)}{h} admet une limite quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé N'(t).

Tu vois bien qu'une limite apparait nécessairement. Elle est dans la définition de la dérivabilité.

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:42

Effectivement j'ai enfin compris , c'est en quelque sorte une reformulation de ma définition (car je n'avais pas vu cette définition). Mais il est bien évident que si le taux d'accroissement tend vers N'(t), il s'agit bien évidemment de sa limite !

Posté par
Mathdu13re : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:43

Nicolas_75 Merci encore pour ton aide je vais enfin pouvoir me pencher sur l'autre exercice qui me pose problème

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Récurrence dérivabilité 02-10-16 à 15:46

Je t'en prie.


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