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Récurrence double

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
11-04-14 à 10:09

Yop tout l'monde. Dans l'exercice suivant, il me semble que j'ai à faire une récurrence double. Je n'en ai jamais fait.
Je sais qu'il faut initialiser avec 2 valeurs consécutives de n. Idem, pour l'hypothèse de récurrence. On suppose pour n-1 et n-2.
Le problème se situe au niveau de l'implication. Dois-je démontrer la propriété pour n et n+1 ou seulement n ?

Voici l'exercice:
Soit Un la suite définie pour tout n de N telle que:
Un=5U(n-1)-6U(n-2)
Démontrer par récurrence que pour tout n de N:
Un=2^(n+1)-3^n

Merci d'avance.

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence double 11-04-14 à 10:17

bonjour

tu supposes vrai jusqu'au rang n, et tu le montres au rang (n+1)
ça va aller tout seul si tu manies bien les exposants....

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Récurrence double 11-04-14 à 10:32

Comment ça 'je suppose vrai jusqu'au rang n' ?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence double 11-04-14 à 10:38

je suppose que tu as initialisé avec U_0 et U_1

supposons que P_n : "Un=2^(n+1)-3^n " soit vraie jusqu'au rang n
(ce qui n'est pas idiot de penser puisque tu as montré que c'était vrai au rang 0 et au rang 1)

montrons alors qu'elle est vraie au rang n+1 (donc tu l'auras au rang 2
mais comme tu l'auras alors au rang 1 et au rang 2, tu l'auras au rang 3.....etc

et de proche en proche, la relation sera toujours vraie

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Récurrence double 11-04-14 à 10:55

Je viens de faire quelques recherches et le principe que tu utilises c'est la récurrence forte. C'est ça ?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence double 11-04-14 à 11:02

je ne sais....

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Récurrence double 11-04-14 à 22:33

Si quelqu'un pouvait me donner une confirmation pour la récurrence double.

Posté par
carpediem
re : Récurrence double 11-04-14 à 23:45

salut

récurrence, récurrence forte, récurrence double, triple n'est que du blabla ....

il n'y a de récurrence que la récurrence !!!!

Posté par
bekkam_casa
re : Récurrence double 12-04-14 à 00:02

Bonsoir tout le monde,

je suis d'accord avec carpediem malgré que certains aiment bien utiliser les expressions :

récurrence simple, forte et double

pour répondre à ta question : Dois-je démontrer la propriété pour n et n+1 ou seulement n ?

la réponse est : juste n, si bien sur tu suppose n-2 et n-1 vrai

ce qu il faut retenir pour la récurrence c'est que on suppose toujours que la propriété est vrais pour toute les valeurs de 0 jusqu'à n et on démontre pour n+1

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Récurrence double 12-04-14 à 09:04

Justement. Moi je trouve qu'il y a des différences. Voilà ce que j'ai compris.
Récurrence simple: on suppose la propriété (après initialisation au rang n0) pour un certain nn0 et on démontre que cela implique n+1. Donc, supposer ici la propriété au rang n ne veut pas dire qu'elle est vraie pour n-1.

Récurrence double (ou triple...): on initialise avec 2 valeurs consécutives de n. Suppose vraie la propriété pour n et n+1 par exemple et on démontre n+2.

Récurrence forte: On suppose la propriété vraie pour tout k allant de n0 ( de l'initialisation)  à n et on démontre que cela implique n+1.

C'est à peu près ça ?

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Récurrence double 12-04-14 à 09:15

Bon, vous me direz quand même que toute récurrence forte peut devenir une récurrence simple en trafiquant un peu la propriété a démontrer.

Posté par
carpediem
re : Récurrence double 12-04-14 à 11:55

la récurrence est simplement de montrer que l'implication P(n) ==> P(n + 1)

où P est une proposition dépendant de n

cette dernière phrase pouvant encore se lire ::

où P est une proposition dépendant de n (et ses (certains/tous) prédécesseurs)

....

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Récurrence double 12-04-14 à 12:27

Oui. Les nuances viennent de la propriété P(n).

Posté par
carpediem
re : Récurrence double 12-04-14 à 12:49

tout à fait ...



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