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Récurrence et dérivée c est pour lundi
Bonjour aidez moi s'il vous plait c'est pour lundi
Soit f définie sur ]a;+
[ par f(x)= 1/(x-a)
1)calculer f'(x),f''(x),f'''(x) et f''''(x)
2)conjecturer l'expression de f puissance n (x) pour tout entier naturel non nul et démontrer la par récurrence.
3)Soit g la fonction definie sur ]1;+[ par g(x)= 1/(x²-1)
a) déterminer les nombres 
et
tels que pour tout x de ]1;+[ g(x)= + [smb]beta.gif)
/(x-1)
b) calculer g puissance n (x) pour tout entier naturel non nul
aidez moi s'il vous plait expliquez moi les étapes c'est important
Bonjour,
1) On utilise les formules suivantes :
f=1/u => f'=-u'/u2 et f=-1/u => f'=u'/u2
et aussi (uv)'=u'v+uv' et encore (un)'=nun-1 si dans ce dernier cas u(x) est un polynôme .
f(x)=1/(x-a) => f=1/u avec u=(x-a) =>u'=1
Donc f'(x)=-1/(x-a)2 => f'=-1/u avec u=(x-a)2 et u'=2x-2a
et f''(x)=+2(x-a)/(x-a)4=2/(x-a)3 => f''=2*1/u avec u=(x-a)3 , soit u=(x-a)2(x-a) et u'=2(x-a)*(x-a)+(x-a)2=3(x-a)2
En conséquence f'''(x)=-6(x-a)2/((x-a)3)2 soit f'''(x)=-6(x-a)2/(x-a)6=-6/(x-a)4
2) On a donc fn(x)=((-1)n*n!)/(x-a)n+1 avec n! factorielle de n égale à 1*2*...*(n-1)*n
On le vérifie pour f' avec n=1 => 1!=1, pour f'' avec n=2 =>2!=1*2=2, pour f''' avec n=3 =>3!=1*2*3=6
Supposons donc que la formule de fn(x) est vraie jusqu'à n
Elle doit aussi être vraie pour n+1
on a donc fn(x)=((-1)n*n!)/(x-a)n+1
càd fn(x)=((-1)n*n!)*1/u avec u=(x-a)n+1 => u'=(n+1)*(x-a)n
donc fn+1(x)=-1*((-1)n*n!)*u'/u2
soit fn+1(x)=((-1)n+1*n!)*u'/u2
càd fn+1(x)=((-1)n+1*n!)*(n+1)*(x-a)n/(x-a)(n+1)*2
et donc fn+1(x)=((-1)n+1*(n!*(n+1)))/(x-a)n+2, ce qui correspond bien à fn+1(x)=((-1)n+1*(n+1)!)/(x-a)n+2
Puisque la formule s'applique pour n=1, n=2 , n=3 et qu'elle se vérifie pour n+1 si vraie pour n, alors elle est vraie pout tout entier naturel n non nul.
3)a/ Ton énoncé n'est pas totalement passé sur mon browser Internet et il m'est impossible de poursuivre
Juste les remarques suivantes :
- g(x)=1/(x2-1)=1/((x-1)(x+1))
- tu devras certainement ensuite appliquer le résultat de la question 2 avec a=1
A toi de finir et bon courage
Rebonjour,
Juste une précision pour ne pas te faire faire une erreur
La formule (un)'=nun-1 n'est valable que dans le cas de u(x) de la forme x-a où x'=1
La formule générale est (un)'=nu'un-1
Démontrons le pour n=2
(u*u)'=u'u+uu'=2u'u puisque la multiplication est commutative
Considérons que la formule est vraie pour n , soit (un)'=nu'un-1
Vérifions la pour n+1
(un+1)'=(un*u)'=nu'un-1*u+un*u'
soit encore (un+1)'=(n+1)u'un
Donc la formule est vraie pour tout entier naturel supérieur à 1
Dans notre cas, u=x-a et u'=1 donc ((x-a)n)'=n*1*(x-a)n-1 soit ((x-a)n)'=n*(x-a)n-1
En espérant n'avoir pas fait d'autres erreurs.
Bonne journée
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