salut

note que déjà pour te donner une idée tu pourrais rentrer cette suite dans la calculatrice pour voir ...

que ce soit pour le suite des rangs pairs ou des la suite des rangs impairs c'est le même principe :

tu veux déterminer le signe de lorsque m = 2n (rang pair) ou lorsque m = 2n + 1 (rang impair)

il te faut donc calculer cette différence ...

je dois calculer um+2 - um ? puis étudier le signe ?

j'ai conjecturé que la suite était croissante pour les rangs pairs et décroissante pour les impaires mais je ne sais pas par ou je dois commencer pour le prouver

par récurrence évidemment !!

la question 3a/ te donne ...?

il ne te reste donc plus que ... ? en calculant ce que je te demande de calculer ...

3a) 1,88>1 donc u2>uo
0,08<0,37 donc u3<u1

3b)Propriété: la suite constituée de termes de rang pairs est croissante
-Initialisation: u2>u0 la propriété est vraie pour n=0
-Hérédité: Supposons qu'il existe un rang k tel que la suite (u2k) est croissante soit tel que u2k>uk. Nous allons montrer que u2k+2<u2k

Le raisonnement jusque là est juste ?

u2k>uk
<=>f(u2k)>f(uk)
<=>(e^-u2k)/u2k>(e^-uk)/uk
....
....
....
<=>u2k+2>u2k (je ne vois pas comment je pourrais arriver a ce résultat)

non ta propriété d'hérédité ne va pas :

l'hypothèse de récurrence est : ou à la place du carré tu mets ou suivant la parité des rangs que tu traites

et 0 ou 1 à la place de ** et 2 ou 3 à la place de **  à nouveau suivant la parité traitée ...

Du coup je pars de
u2n+2>u2n
<=>f(u2n+2)>f(u2n)
<=>(e^-2n+2)/x>(e^-2n)/x

Mais comment je simplifie après ?

dans tous les cas il te faut calculer

donc commence par calculer f(x) puis f[f(x)] et ensuite f[f(x)] - x ... en réduisant et factorisant !!

ensuite on pourra regarder l'hypothèse de récurrence ...

f(x)=1/xe^x
f(f(x)=f(x) se retrouve dans la puissance de l'exponentielle mais comment je suis censé réduire ou factoriser après ?

f(x) = 1/[x e^x]

f(f(x)) est faux ...

f(f(x))=xe^x/e^(1/xe^x)?

f(f(x))-x=(1/ye^y)-x ?

ben il faudrait peut-être remplacé y !!!

f(f(x))=1/(1/xe^x)e^(1/xe^x)

f(f(x))-x=(xe^x-xe^(1/xe^x))/e^(1/xe^x)?

ouais ça me semble convenable ...

tu peux alors factoriser par x le numérateur puis déterminer le signe de  cette différence ... mais ça me semble bien compliqué à travailler ...


je te propose deux autres méthodes qui utilisent les variations de f (décroissance)... plus puissamment !!


première méthode :  en traitant les rangs pairs

d'après ta conjecture de 18h01 : la suite des rangs pairs est croissante d'où la proposition  

initialisation : voir 3a/ donc P(0) est vraie

hérédité : supposons P(n) vraie pour un entier n ; donc :  

on compose par f décroissante donc            à écrire de façon moins condensée : on ne mélange pas égalité et inégalité

on compose par f décroissante donc        idem

donc P(n + 2) est vraie et la propriété est héréditaire

je te laisse traiter le ces des rangs impairs



mais bon on peut faire beaucoup mieux car comme tu le vois ça ne dépend pas de la parité de n mais du fait qu'on va de deux en deux  donc :


deuxième méthode :


1/ je montre l'hérédité de la proposition P(n) : u_{n + 2} et u_{n + 4} sont dans le même ordre que u_n et u_{n + 2}

2/ je conclus avec l'initialisation : voir 3a/


PS : tu as un exemple où il est fondamental de traiter l'hérédité avant l'initialisation avec la bonne propriété   (pour ne pas faire deux fois le même travail !!)

PPS : pour ma part j'ai toujours traiter l'hérédité (qui est l'essence du raisonnement par récurrence) avant l'initialisation (qui est une trivialité)

PPPS :je t'invite à noter sur ta copie que tu t'es fait aidé ... par honnêteté intellectuelle ...