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récurrence et inégalité

Posté par rust (invité) 14-11-05 à 21:29

bonsoir,

j'espère qu'il n'est pas trop tard, je pensais pouvoir me debrouiller tout seul,mais apparement non...

Je dois demontrer par recurrence que:
4$\frac{4^n}{2sqrt{n}} \le \(2n\\n\) \le \frac{4^n}{\sqrt[3]{n}}

Alors, pour n=1, pa de problème, mais après je ne vois pas comment faire.

Merci de votre aide

Posté par biondo (invité)re : récurrence et inégalité 14-11-05 à 22:15

Bonsoir,


J'ai l'inegalite de gauche:

\(2(n+1)\\n+1\) = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} = (2n+2)(2n+1).\frac{(2n)!}{(n+1)^2.(n!)^2} = \frac{2(2n+1)}{n+1} . \frac{(2n)!)}{((n+1)!)^2}

Donc
\(2(n+1)\\n+1\) \ge \frac{4^n}{2\sqr{n}} . \frac{2(2n+1)}{n+1} = \frac{4^{n+1}}{2\sqr{n+1}} . \frac{2n+1}{2.\sqr{n}.\sqr{n+1}}

et en regardant le signe de (\sqr{n+1} - \sqr{n})^2 (oui, c'est positif!)

On trouve que 2n+1 \ge 2.\sqr{n}.\sqr{n+1}

et hop.


J'ai essaye brievement le meme genre de chose sur l'inegalite de droite, mais je n'ai pas eu la bonne vision apparemment...

bonne chance.


A+
biondo

Posté par rust (invité)re : récurrence et inégalité 14-11-05 à 22:37

merci beaucoup,

mais je ne comprend pas la 2eme ligne.
Je comprend très bien la supériorité, mais comment fait tu pour passer de sqrt{n} a sqrt{n+1} ?

merci

Posté par biondo (invité)re : récurrence et inégalité 14-11-05 à 22:40

Ah.

j'ai du n+1 au denominateur.
je dis que c'est \sqr{n+1}.\sqr{n+1}.

Et j'en factorise un.

Posté par rust (invité)re : récurrence et inégalité 14-11-05 à 22:47

ok, je n'avais pas vu l'astuce.

merci


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