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Récurrence et matrice
Bonsoir,
j'ai du mal avec les démonstrations par récurrence. Cependant j'applique le principe bien comme il faut dans l'exemple suivant :
A= J =
( 3 1 0 ) ( 0 1 0 )
( 0 3 0 ) ( 0 0 0 )
( 0 0 3 ) ( 0 0 0 )
1) Il faut calculer J ^3 et montrer par réccurence sur n que An = 3nI + anJ, ou an ets une suite de réels.
-->
J3 = 0
Initialisation :
la propriété An = 3nI + anJ est vraie au rang n = 0
A0 = I
30I + a0J
( on a supposé en cours J'en sais trop pourquoi que a0 = 0 )
pour que :30I + 0.J = I
Initialisation vérifiée.
Héridité:
On supose que la prop est vraie au rang n, donc elle doit etre aussi vraie au rang n+1 .
An+1= An * A
Or je ne trouve pas A = ?
Une aide la dessus svp ?
Salut !
je sais pas trop ce que te conseil l'énoncé, mais à surtous J²=0... je pense que c'est ca qu'il te manquait pour conclure.
sinon on peut éviter la récurence : A =(3*I+J)
I et J commute donc on peut utiliser le binome : A^n=(3I+J)^n = 3^n*I+3^(n-1)*n*I*J +... des terme avec des J^k, k>1, donc nul.
d'ou A^n = 3^n I + n3^(n-1) J
1) Oui J² = 0, donc J^3 = 0 ,
2) Il faut démontrer par récurrence :
comment tu as fait pour trouver A =(3*I+J) ???
Bonsoir.
D'abord, tu as J² = O
Ensuite, comme on pose A0 = I, on peut écrire A0 = 30.I + a0.J si et
seulement si a0 = 0
On remarque aussi que A1 = 31.I + a1.J = 3.I + J
Donc : a1 = 1
Cela étant, supposons An = 3n.I + an.J
Alors, An+1 = An.A = (3n.I + an.J)(3.I + J)
Développons, en remarquant que I.J = J.I = J et que J.J = 0.
Cela donne :
An+1 = An.A
= (3n.I + an.J)(3.I + J)
= 3n+1.I + (3n + 3an).J
La récurrence est prouvée à condition de prendre la suite (an)n > 0 définie par :
a0 = 0 et, pour tout n > 0, an+1 = 3n + 3an
A plus RR.
On remarque aussi que A1 = 31.I + a1.J = 3.I + J
Donc : a1 = 1
Je ne vois pas pourquoi, comment a1 = 1 ??
c'est la ou je bloque !
oui ok, A1 = 31I + a1J
Je suis d'accord sur sa, mais pourquoi
a1 = 1 ??
je ne vois rien qui me permet de dire sa
Dsl mais je ne vois pas la logique la dedans ( à supposer que j'en ai une 
) )
Il y a une logique, tu peux me croire.
Tu veux montrer que An = 3n.I + an.J
Bon, tu essaies pour n = 1 : A1 = 31.I + a1.J
==> A = 3.I + a1.J
Tu arrives à suivre ?
Maintenant regarde ton énoncé : comment s'écrit ta matrice ?
A = 3.I + J
Compares les deux résultats en gras et cherche longuement combien peut valoir a1
A plus RR.
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