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Récurrence, et oui.

Posté par DakuTenshi (invité) 04-09-05 à 22:09

Salut tout le monde!

J'ai un exercice pour mercredi que je n'arrive pas à faire, alors j'aimerai votre aide. C'est l'exercice 56 p. 154 de Indice (éditeur: hachette) pour ceux qui possèdent le livre.

Bref, la suite (u_{n}) est définie par:

u_0 = 8 et u_{n+1} = 3 u_n - 5

Montrer par récurrence que l'on a:

u_n \geq 2^{(n+3)}

En déduire que la suite (u_n) diverge vers "+ l'infinie" (c'est comment sous latex?).

Merci de votre aide, d'avance ^^

Posté par
Nightmarere : Récurrence, et oui. 04-09-05 à 22:10

Bonjour

Qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ? la démonstration par réccurence ou la déduction ?


Jord

Posté par DakuTenshi (invité)re : Récurrence, et oui. 04-09-05 à 22:15

Ni l'un et pas conséquent ni l'autre :/

Je fais l'initialisation, u_0 = 8 et 2^{0+3} = 8, donc aucun problème, ensuite blahblahblah, montrons le avec u_{n+1} \geq 2^{n+4} et là j'avance plus!

Mais peut être que j'ai faux aussi hein!

édit Océane : balise LaTeX fermée

Posté par DakuTenshi (invité)re : Récurrence, et oui. 04-09-05 à 22:16

Dammit, j'ai pas fermé mon latex :l

Montrons le avec u_n+1 \geq 2^{n+4} et là j'avance plus! Mais peut être que j'ai faux aussi hein!

Posté par
Nightmarere : Récurrence, et oui. 04-09-05 à 22:20

On veut montrer :
3$\rm I_{n}\ge 2^{n+3}\Rightarrow U_{n+1}\ge 2^{n+4}

On a :
3$\rm U_{n}\ge 2^{n+3}\Rightarrow U_{n+1}\ge 3\times 2^{n+3}-5

Il s'agit donc de montrer :
3$\rm 3\times 2^{n+3}-5\ge 2^{n+4}

Or :
3$\rm 2^{n+4}=2\times 2^{n+3}
Ainsi :
3$\rm 3\times 2^{n+3}-5-2^{n+4}=(3-2)\times 2^{n+3}-5=2^{n+3}-5

Cependant n est entier naturel, donc 3$\rm 2^{n+3}\ge 2^{3}=8
ainsi :
3$\rm 2^{n+3}-5\ge 8-5=3\ge 0

Je te laisse conclure


Jord

Posté par DakuTenshi (invité)re : Récurrence, et oui. 04-09-05 à 22:22

Merci Bien!

Posté par
Nightmarere : Récurrence, et oui. 04-09-05 à 22:23

Pas de problème


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