Niveau terminale

Récurrence et p parmi n

Posté par
jfbello 22-09-07 à 17:51

Bonjours.
J'ai un DM pour le 26/09 et j'aimerai votre aide pour comprendre (ceci étant un entrainement pour un DS). Je ne vois jamais par comment procéder ...

Voici l'énoncé:

I. n et k sont deux entiers naturels.

Démontrer que pour tout entier n avec n1, on a: $\sum_{k=1}^{k=n}$ k*k!=(n+1)!-1.

Ici, j'ai prouvé que l'égalité été vrai pour n et k=1 et n et k=2, mais je ne vois pas comment le faire par récurrence.
************************

II. 1-n et p sont deux entiers naturels tels que pn.

Démontrer que : $\frac{1}{p+1}$ $n\\p$ = $\frac{1}{n+1}$ $n+1\\p+1$

2-En déduire une forme plus simple de l'expression A avec: A= $\sum_{k=1}^n$ $\frac{1}{k+1}$ $n\\k$

Et ici,pour la 1, je développe les factoriels mais c'est impossible à diminuer de façon a ce que se soit égale.

Posté par re : Récurrence et p parmi n 22-09-07 à 23:23

Bonsoir,

I On fait une démonstration par récurrence:

Initialisation:

On a bien: $1.1!=1=(1+1)!-1$ et la propriété est vraie au rang 1.

Hérédité:

On suppose que $\Bigsum_{k=1}^nk.k!=(n+1)!-1$ pour un certain rang $n$ fixé.

On calcule: $\Bigsum_{k=1}^{n+1}k.k!=\Bigsum_{k=1}^nk.k!+(n+1)(n+1)!$

$\Bigsum_{k=1}^{n+1}k.k!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+1)!(1+n+1)-1=(n+2)(n+1)!-1$

$\Bigsum_{k=1}^{n+1}k.k!=(n+2)!-1$ et l' hérédité est prouvée.

Posté par re : Récurrence et p parmi n 22-09-07 à 23:45

II

1) $\frac{1}{p+1}$n\\p$=\frac{n!}{(p+1)p!(n-p)!}=\frac{n!}{(p+1)!(n-p)!}$

$\frac{1}{n+1}$n+1\\p+1$=\frac{(n+1)!}{(n+1)(p+1)!(n-p)!}= \frac{n!}{(p+1)!(n-p)!}$

d' où: $\frac{1}{p+1}$n\\p$=\frac{1}{n+1}$n+1\\p+1$$

2) $A=\Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}$n\\k$=\Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{n+1}$n+1\\k+1$=\frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=1}^n$n+1\\k+1$$

$A=\Bigsum_{k=2}^{n+1}$n+1\\k$=\frac{1}{n+1}\left(2^{n+1}-$n+1\\0$-$n+1\\1$\right)=\frac{2^{n+1}-n-2}{n+1}$

Posté par re : Récurrence et p parmi n 23-09-07 à 00:00

Zut!

Oubli à la dernière ligne:

$A=\frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=2}^{n+1}$n+1\\k$=\cdots$ (la suite est la même)

Posté par re : Récurrence et p parmi n 23-09-07 à 14:43

Merci beaucoup, avec tes explication je vois mieux comment m'y prendre !

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