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Récurrence et Polynôme (impossible!)

Posté par hugo1992 (invité) 28-10-05 à 10:12

Salut à tous j ai scanné l' énoncé parce que les toutes les notations utilisées sont assez difficile à reproduire.


***edit jerome : merci de faire l'effort de recopier ton énoncé***.
je vous met l' addresse ou cas ou l' icone ne marche pas.
***

Je vous remercie de m' aider.

Posté par philoux (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:16

pourquoi tu ne le recopies pas ?

Philoux

si on veut le rechercher par la loupe, on ne le peut pas...

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:21

Par la loupe ?...
il faut juste cliquer sur l' icône...

Posté par philoux (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:25

non

le but de recopier l'énoncé est que si, PLUS TARD, quelqu'un recherche ton énoncé il puisse le retrouver...

AInsi, supposes que tu n'aies pas de réponse car on te dit que ce pb est déjà résolu

tu désires chercher par la loupe l'énoncé et la résolution du pb

Eh bien tu ne pourras pas car le poster l'a mis en image jointe...

même remarque (mais ce n'est pas pour toi) pour ceux qui scannent leur résolution manuscrite...

Suis-je clair ?

Philoux

Posté par
Pookette Correcteurre : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:29

Salut,

de plus, pourquoi certains élèves prennent 15 ou 30 minutes à recopier leur énoncé, par respect pour les correcteurs, et d'autres se content de le scanner et donner un lien ... ?

Pookette

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:29

oui oui j' ai bien compris

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:34

"de plus, pourquoi certains élèves prennent 15 ou 30 minutes à recopier leur énoncé, par respect pour les correcteurs, et d'autres se content de le scanner et donner un lien ... ?"

l' ayant déjà fait à plusieures reprises je sais a quel point c' est long et souvent c' est toujours difficile à comprendre.

Posté par jerome (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:41

Salut Hugo

Ce que veux dire philoux c'est que le correcteur qui pourra eventuellement te répondre reprendra ces notations lourdes et par conséquent fera l'effort de rédiger sous LaTeX par exemple...
C'est pour cela que nous insistons sur le fait que les elèves recopient leur énoncé, cela montre aux eventuels correcteurs qu'il ne s'agit pas : "voila mon DM j'ai la flemme de le recopier merci de m'aider..."

De plus scanner l'énoncé ne permet pas un acces par le moteur de recherche ce qui est embétant pour les futurs elèves qui auront le meme problème

Merci de ta compréhension

A+

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 10:45

C 'est parfaitement compréhensible.
Je le recopierai donc et désolé si ça a manqué de respect à quelqu 'un.

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 11:09


voici donc l' énoncé
1. Soit P[X], notons P(X)=m (en haut) k=0(en bas) akXkavec am0

a) Montrer par récurrence sur m que P(X)=am(X-1)...(X-m) ou les 1...m sont les racines.

b) Montrer que 12...m
=(-1)m0/m

2 Soit n , n2. On note U*n, l' ensemble des racines n-ièmes de l' unité différentes de 1.

a. Montrer que U*n, (n-1 en haut et k= 0 en bas ) k=0.
Montrer que pour tout U*n, le nombre complexe 1/(1-) est racine du polynome Q(X)=(n-1 en haut et k= 0 en bas ) (X-1)kXn-k-1.

3 a. Quel est le degré de (X-1)kXn-k-1 et le coefficient de son terme de plus haut degré ?

b . Même question pour Q.
c. Que vaut Q(0)?

4. Déduire des questions précèdantes que ( U*n en bas) 1/(1-)= 1/n.


merci à tous

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 14:12

quelqu un pourrait il m' aider ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Récurrence et Polynôme (impossible!) 28-10-05 à 16:57

Bonjour hugo1992;
2)
a) 3$\fbox{\omega\in U_n\Longleftrightarrow\omega^n=1\Longleftrightarrow\omega^n-1} et vu que 3$\fbox{et\{{\omega^n-1=(\omega-1)(\omega^{n-1}+\omega^{n-2}+..+\omega+1)=(\omega-1)\Bigsum_{k=0}^{n-1}\omega^k\\\omega\neq1}
tu vois que 3$\blue\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0}
b) En utilisant l'identité remarquable 3$\fbox{a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+..+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\Bigsum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k} tu vois que 3$\fbox{X^n-(X-1)^n=\Bigsum_{k=0}^{n-1}X^{n-1-k}(X-1)^k=Q(X)} ( Remarquer que 3$\fbox{Q(0)=-(-1)^n=(-1)^{n-1}} )
et donc que 3$\fbox{Q(\frac{1}{1-\omega})=(\frac{1}{1-\omega})^n-(\frac{1}{1-\omega}-1)^n=0}
3)
a) les 3$\fbox{n} termes 3$\fbox{X^{n-1-k}(X-1)^k\\0\le k\le n-1} sont des polynomes unitaires de degré 3$\fbox{n-1} (je te laisse le vérifier) le polynome 3$\fbox{Q(X)} étant leur somme a donc 3$\fbox{n-1} pour degré et 3$\fbox{n} pour coefficient dominant et s'écrit par conséquent 3$\fbox{Q(X)=n\Bigprod_{i=1}^{n-1}(X-\alpha_i)} où 3$\fbox{\alpha_i\\1\le i\le n-1} sont ses racines Mais justement on les connait ses racines ce sont les 3$\fbox{\frac{1}{1-\omega}\\\omega\in U_{n}^{*}} et on peut donc écrire que 3$\fbox{Q(X)=n\Bigprod_{\omega\in U_{n}^{*}}(X-\frac{1}{1-\omega})} et en faisant 3$\fbox{X=0} dans cette dernière expression tu vois que 3$\fbox{(-1)^{n-1}=n\Bigprod_{\omega\in U_{n}^{*}}(-\frac{1}{1-\omega})=(-1)^{n-1}n\Bigprod_{\omega\in U_{n}^{*}}\frac{1}{1-\omega}} c'est à dire que 4$\red\fbox{\Bigprod_{\omega\in U_{n}^{*}}\frac{1}{1-\omega}=\frac{1}{n}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 29-10-05 à 21:07

merci .
c est bien compliqué tout ça.
et les questions 1a et b est ce que quelqu' un a une idée?

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 31-10-05 à 11:15

je relance une nouvelle fois pour savoir si quelqu un peux m' aider pour les premieres questions.

Posté par bel_jad5 (invité)hi 31-10-05 à 11:22

hi
1a)c une recurrence descendante
a chak fois p(x)=a(x-b)q(x) et tu fai la mem chose sur q(x)
b)tu calcule p(0) de 2 façons differntes
p(0)=a0 directement
la deuxieme façon en tuilisant la formule de 1a) p(0)=(-1)^m 12....

Posté par
piepalmre : Récurrence et Polynôme (impossible!) 31-10-05 à 11:32

1a) c'est du cours , non? Si P(alpha)=0, P(x)=P(x)-P(alpha) et chaque différence x^k-alpha^k peut être factorisée en (x-alpha)Qk(x) avec Qk de degré k-1, donc en sommant P(x) factorisé P(x)=(x-alpha)Q(x) où degré de Q(x) =n-1; d'où la récurrence...
b) tu as mal retranscrit l'énoncé: à le produit des alpha est égal à (-1)^m a0/am (et non des alpha!) là encore c'est du cours, et il suffit de faire x=0 dans la factorisation

Pour le reste elhor t'a répondu: si tu trouve ça trop compliqué, tu peux peut-être faire autre chose que des maths!

Posté par hugo1992 (invité)re : Récurrence et Polynôme (impossible!) 31-10-05 à 13:24

Je tiens a vraiment tous vous remercier.

"Pour le reste elhor t'a répondu: si tu trouve ça trop compliqué, tu peux peut-être faire autre chose que des maths!"

C' est bien mon intention mais pour le moment les maths sont très présents pour ma première année.


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