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Récurrence et suite
Bonjour, j'ai un DM de maths à faire et j'ai plutot bien avancé sur cette exercice mais il y a encore quelque zones d'ombres pour moi, merci à ce qui prendront le temps de m'aider !
On me dit que (Un) est une suite définie par U0 = 1 et Un+1 = Un / (Racine de Un²+1)
(Un+1 est un indice, et la racine est sur tout le dénominateur
1. Démontrer que pour tout entier naturel n, Un > 0
==> Récurrence je suppose donc j'ai fait l'initialisation mais j'ai un doute pour l'hérédité...
Pour prouver que Un+1 > 0, je pars de Un > 0 mais est-ce que j'ai le droit de dire : ''je divise Un par (Racine de Un² +1) ?''
Après on aurait donc Un+1 > 0 et la conclusion... Mais je n'en suis pas si sûr
2. Prouver que la suite (Un) est décroissante
==> Un > 0
Un² +1 > 1
1 / (Un² +1) < 1
Un+1 < Un
Soit Un+1 -Un < 0
La suite (Un) est bien décroissante.
3. Calculer les 5 premiers termes. Conjecturer l'expression de Un en fonction de n, démontrer ce résultat.
==> U0 = 1 | U1 = Racine de 2 / 2 | U2 = Racine de 3 / 3 | U3 = Racine de 4 / 4 | U4 = Racine de 5 / 5
On peut conjecturer que Un = (Racine de n +1) / (n+1)
Pour le démontrer je pensais à une récurrence... Ca marche pour l'initialisation et je veux trouver que Un+1 = (Racine de n+2) / (n+2)
Sauf qu'en faisant l'hérédité, à savoir en partant de Un = (Racine de n+1) / (n+1) et en remplaçant ça dans Un+1 = Un / (Racine de Un²+1), je ne trouve pas ce que je recherche :/
4. Déterminer la limite de la suite (Un)
==> Je ne vois pas comment le démontrer, mais pour moi cette suite tend vers 0.
Bonjour,
(1) Ta démonstration est à peu près correcte.
Tu as le droit de dire que tu divises Un par racine de (Un²+1) puisque c'est la définition de Un+1.
Tu dois juste rappeler que Un²+1 est > 0 et que donc, la racine carrée est calculable, et qu'elle est > 0. Un étant > 0 par hypothèse... tu n'as que du positif .
(2) Bonne démonstration.
Remarque : l'avant dernière ligne est inutile : Un+1 - Un < 0
... puisque tu as déjà dit Un+1 < Un, qui est suffisant pour conclure.
(3) Bons calculs et bonne conjecture :
Pour la prouver : U0 = 1 = racine(1)/1 OK
Récurrence : Un = racine(n)/n = 1/racine(n)
Tu calcules : Un+1 = Un/racine(Un² + 1) = ... = 1/racine(n+1) = racine(n+1)/(n+1) OK
... à toi de refaire ce calcul.
(4) Limite de la suite Un :
Un = racine(n)/n = 1/racine(n)
Quand n tend vers l'infini, racine de n tend vers l'infini, et donc son inverse tend vers...
Bonjour, merci de m'avoir répondu
Mais il me reste quand même deux questions :
Pour le calcul de un+1= un/ 
(un²+1) je suis complétement bloquée 
Et pour la limite je dirai que son inverse tend vers 0 vu que l'on reconnaît ici une suite de référence 
Pour la limite, je pense que tu as compris :
n tend vers l'infini, donc racine(n) aussi, donc 1/racine(n) tend vers zéro.
Pour la récurrence de la question (3) :
Au rang '0' : U0 = 1 = 1/1 Initialisation
Au rang 'n' : Un = n/n = 1/n par hypothèse
Tu calcules : Un+1 = Un/(Un² + 1) pour voir si Un+1 = 1/(n+1)
Donc tu poses proprement le calcul de Un+1, en remplaçant Un par 1/n :
Un+1 = Un/(Un² + 1)
Un+1 = (1/n) / (1/n² + 1)
Un+1 = 1 / (n.(1/n + 1))
Un+1 = 1 / (n(1/n + 1))
Un+1 = 1 / (1 + n)
On vient de prouver qu'on a bien :
Un+1 = 1 / (n+1) la propriété est donc VERIFIEE au rang n+1
... ce qui prouve la propriété par récurrence.
Merci beaucoup, très bien mais pour l'initialisation est ce que c'est juste si je mais que Pn= n+1/(n+1)
et un+1= n+2/(n+2)
bon et après biensur l'hérédité ?
Merci beaucoup, très bien mais pour l'initialisation est ce que c'est juste si je mais que Pn= n+1/(n+1) et un+1= n+2/(n+2)
Non.
L'initialisation consiste à vérifier la propriété au premier rang où elle est vraie.
En général c'est le rang 0 ou le rang 1.
Ici il suffit de vérifier si U0 vaut bien 1/racine(1).
Et je te l'ai fait dans un post antérieur.
PS: attention : j'ai fait une confusion dans la récurrence.
J'ai adopté l'hypothèse Un = 1/racine(n) alors que c'est Un = 1/racine(n+1)
La démonstration reste exactement la même si tu écris Un-1 = 1/racine(n)
et que tu calcules Un pour obtenir 1/racine(n+1)...
... mais bon il faut corriger ce que j'ai écrit.
Merci beaucoup, très bien mais pour l'initialisation est ce que c'est juste si je mais que Pn= n+1/(n+1) et un+1= n+2/(n+2)
Non.
L'initialisation consiste à vérifier la propriété au premier rang où elle est vraie.
En général c'est le rang 0 ou le rang 1.
Ici il suffit de vérifier si U0 vaut bien 1/racine(1).
Et je te l'ai fait dans un post antérieur.
PS: attention : j'ai fait une confusion dans la récurrence.
J'ai adopté l'hypothèse Un = 1/racine(n) alors que c'est Un = 1/racine(n+1)
La démonstration reste exactement la même si tu écris Un-1 = 1/racine(n)
et que tu calcules Un pour obtenir 1/racine(n+1)...
... mais bon il faut corriger ce que j'ai écrit.
Bonjour
Justement je ne comprends pas comment le corriger pouvez vous m'éclairer ?
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