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Récurrence et trigonométrie

Posté par
__xD 08-10-08 à 15:33

Bonjour,
J'ai un dm de maths à rendre pour après-demain, et je bloque sur une question:
u0 [0;1] et un+1=(1+un/2)
On me demande de prouver par récurrence que 0un1
Ca, j'ai réussi.
Ensuite, on pose uo= cos , où 0/2.
La consigne est:
Démonter par récurrence que pour tout entier n, un=cos (/2n), et là je sais pas du tout comment faire...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
cailloux Correcteurre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 17:25

Bonjour,

Initialisation:

u_0=\cos\,\phi

Hérédité:

On suppose que pour un certain rang n fixé u_n=\cos\,\frac{\phi}{2^n}

Alors u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+\cos\,\frac{\phi}{2^n}}{2}}

on utilise la formule de trigonométrie: \cos^2a=\frac{1+\cos\,2a}{2}

u_{n+1}\sqrt{cos^2\frac{\phi}{2^{n+1}}}=\cos\,\frac{\phi}{2^{n+1}} (car \frac{\phi}{2^{n+1}}\in[0,\frac{\pi}{2}] et son cosinus est positif)

L' hérédité est prouvée.

Posté par
__xDre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 17:38

Hum... Fallait chercher là quand même!
merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 17:40

De rien, __xD

Quand on connait les formules de trigo...tout va bien...

Posté par
__xDre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 18:11

J'avoue avoir un peu de mal sur ces formules.
En fait dès qu'il s'agit de récurrence, mon problème est qu'au niveau de l'hérédité je suis toujours tentée de remplacer directement n par n+1, mais ce serait trop simple , mais ca me bloque dans la réflexion xD

Posté par
cailloux Correcteurre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 18:27

Il est pratique d' écrire la propriété P_n pour n et n+1:

u_n=\cos\,\frac{\phi}{2^n}

u_{n+1}=\cos\,\frac{\phi}{2^{n+1}}

Il faut ensuite réfléchir: comment combler le trou entre les 2 lignes avec la définition de (u_n): u_{n+1}=\frac{1+u_n}{2}

Posté par
__xDre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 18:47

Oui ^^
Bah, je pense que cela viendra avec l'expérience de toute façon...

Posté par
cailloux Correcteurre : Récurrence et trigonométrie 08-10-08 à 18:49

C' est certain...


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