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Récurrence factorielle
Bonjour , j'ai besoin d'aide pour un raisonnement par récurrence avec factorielle . Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n >= 1, on définit n! qui se
lit « n factorielle » ou « factorielle n » par :
1! = 1 ; 2! = 1 × 2 = 2 ; 3! = 1 × 2 × 3 = 6 ; etc.
1) Calculer 6!.
2) Montrer par récurrence que 3^n <= n! pour tout n >= 7.
3) Montrer que n! <= n^n pour tout n>=1
J'ai réussi la question 1 bien évidemment , et la question 2 j'ai fais l'initialisation , cependant je bloque pour l'hérédité ... Pouvez vous me mettre sur la voie ? merci
Bonjour hypothèse de récurrence :
3^k <= k! avec k > 6
Démontrons que 3^(k+1) <= (k+1)!
On part de 3^k <= k!
On multiplie les 2 termes de cette inégalité par 3
On arrive à quoi ?
Bonjour 
Initialisation :
Vérifions que la propriété est vraie au premier rang , soit ici n=7 .
3^7 <= 1x2x3x4x5x6x7
2187 <= 5040
La propriété est donc vraie au premier rang.
Hérédité :
La je bloque :/
Initialisation :
Vérifions que la propriété est vraie au premier rang , soit ici n=7 .
Non, premier rang , soit ici n=0
Généralement l'hypothèse de récurrence est évidente à trouver quand on a compris ce qu'on cherche à démontrer !
Le principe d'un raisonnement par récurrence se bâtit de la façon suivante.
1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1 (l'initialisation)
Donc vrai.
2°)- On suppose que "ça marche" pour le rang n=p et on pose l'hypothèse de récurrence avec n=p
On suppose vraie :
3°)- On montre que "ça marche" pour le rang supérieur, soit pour le rang n=p+1 (ce qui prouve l'hérédité) et on conclut
Premier rang = 7
Relire l'énoncé
Au temps pour moi, premier rang , soit ici n=1
Initialisation :
Vérifions que la propriété est vraie au premier rang , soit ici n=7 .
Non, premier rang , soit ici n=0
Oui mais si n=0 , la propriété n'est pas initialisée ? :/
Pour l'hérédité , oui en multipliant par 3 , je commence a être sur la voie , j'obtient
3x3^K <= 3k!
3^k+1 <= 1k x 2k x 3k ????
Mon dieu, ça se voit que j'ai la grippe .... 
2) Montrer par récurrence que 3^n <= n! pour tout n >= 7.
Mon dieu, ça se voit que j'ai la grippe ....
2) Montrer par récurrence que 3^n <= n! pour tout n >= 7.
Haha , pas de soucis ! Rétablis toi bien , en tout cas merci pour le tuto méthode , les phrases sont assez claires et ça définit bien le principe .
Allez, on recommence ....
Le principe d'un raisonnement par récurrence se bâtit de la façon suivante.
1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1 (l'initialisation). Mais ici, le premier rang est à 7
Donc vrai.
2°)- On suppose que "ça marche" pour le rang n=p et on pose l'hypothèse de récurrence avec n=p
On suppose vraie :
3°)- On montre que "ça marche" pour le rang supérieur, soit pour le rang n=p+1 (ce qui prouve l'hérédité) et on conclut
Oh purée ....................................
1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1 (l'initialisation). Mais ici, le premier rang est à 7
J'arrive pas à développer l'autre coté pour arriver à (k+1)!
Bon grog et bonne nuit sous une bonne couette Jedo.
Reviens nous vite en pleine forme, le forum a besoin de toi
Je n'ai pas encore vu les factorielles :/
Je ne sais pas multiplié k! par 3 , je suppose donc :
3k+3! ? soit 3k+6 ?
Oui on arrive à
3^(k+1) <= 3 k!
Or 3 k! = 3*(1*2*3*........*k)
Et k > 6 donc comment sont rangés :
3 k!
et
(k+1)! = 1 * 2 *......* k * (k+1)
Toujours pas compris :/ ... Je suis désoler , je comprends que 3k! = 3x(1x2x3...xK) mais je vois pas comment cela correspond à (k+1)!
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