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récurrence matrice

Posté par
chocolat-x 27-04-13 à 14:08

Bonjour, j'aimerais que vous m'aidez pour deux questions qui sont sur les matrices:

On a le système :                    
an+1= 0,95an + 0,2bn
bn+1= 0,05an + 0,8bn


1) Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N,
   (matrice) An = Bn * A0

avec Bn =( 0,95  0,2 )  et  An =( an )  et  A0 =( an+1 )
             ( 0,05  0,8 )              ( bn )             ( bn+1 )  



2) Grace à une diagonalisation, on obtient Bn= 1/5 ( 4+0,75n  4-4*0,75n )
     (matice)                                                          ( 1-0,75n  1+4*0,75n )


a0=375   b0=125

Posté par
chocolat-xre : récurrence matrice 27-04-13 à 14:14

Oups je me suis trompée pour A0

A0 = ( ao )
     ( bo )

Posté par
chocolat-xre : récurrence matrice 27-04-13 à 14:19

Autrement dit :

( an+1 ) = ( 0,95   0,2 )  ( an )
( bn+1 ) = ( 0,05   0,8 )  ( bn )

soit
( an ) = ( 0,95   0,2 )n  ( a0 )
( bn ) = ( 0,05   0,8 )   ( b0 )

Posté par
mathx96re : récurrence matrice 27-04-13 à 18:01

Bonjour,

je ne vois pas vraiment où est ton problème ici, et au passage, qu'était la question 2 ?

Posté par
chocolat-xre : récurrence matrice 28-04-13 à 10:56

Il faut que je démontre ce que j'ai mis en dernier par récurrence

Posté par
mathx96re : récurrence matrice 28-04-13 à 13:45

Ok, je reformule ton truc pour plus de clarté :


Citation :
1) Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N,
   (matrice) An = Bn * A0



Tu dois démontrer que A_n = B^n*A_0 avec :

\forall n\in \mathbb{N^*}, A_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}  A_0 = \begin{pmatrix}375\\125\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix}0,95 & 0,2\\0,05 & 0,8\end{pmatrix}


Bon alors, là la récurrence est immédiate : Il suffit de remarquer qu'à chaque fois que tu veux obtenir A_{n+1} tu multiplies à gauche la matrice A_n par B :

A_1 = B*A_0

A_2 = B*A_1 = B*B*A_0 = B^2*A_0 etc ...



Citation :

2) Grace à une diagonalisation, on obtient Bn= 1/5 ( 4+0,75n  4-4*0,75n )
     (matice)                                                    ( 1-0,75n  1+4*0,75n )



Là je ne vois pas du tout ce que tu dois faire ^^ Où est la question ?

J'ai diagonalisé B, je mets ça on verra après :

B = \begin{pmatrix}-1 & 4\\1 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}0,75 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 & 4\\1 & 1\end{pmatrix}

Posté par
mathx96re : récurrence matrice 28-04-13 à 13:46

Pardon, j'ai oublié un truc :


B = \begin{pmatrix}-1 & 4\\1 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}0,75 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 & 4\\1 & 1\end{pmatrix}^{-1}

B = \dfrac{1}{5}.\begin{pmatrix}-1 & 4\\1 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}0,75 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 & 4\\1 & 1\end{pmatrix}


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