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récurrence : problème sur l'hérédité.
Bonjour.
Je souhaite démontrer l'énoncé suivant par récurence , mais je suis bloquée dans l'hérité :
pour tout n appartenant à N etoile,
1!*3!*....*(2n+1)! >= ((n+1)!)(n+1)
initialisation
pour n =1
1!*3! = 6
et (2)!^2=4
6> 4 donc p1 est vraie.
hypothese de récurence :
je suppose Pn vraie pour un n appartenant à N* , c'ets a dire
il existe un n appartenant à N*, tel que : 1!*3!*....*(2n+1)! >= ((n+1)!)(n+1)
Hérédité :
Pk+1 est elle vraie ? A -on 1!*3!*....*(2n+3)! >= ((n+2)!^(n+2)
1!*3!*....*(2n+1)! >= (n+1)!(n+1)
<=>
1!*3!*....*(2n+1)!*(2n+3)! >= (2n+3)! * ((n+1)!)(n+1)
Comparons (2n+3)! * ((n+1)!)(n+1) et ((n+2)!)(n+2)
(2n+3)! * ((n+1)!)(n+1) - ((n+2)!^(n+2) =
=(2n+3)! * ((n+1)!)(n+1) - ((n+1)!(n+2) * (n+2)(n+2)
=(n+1)!(n+1) * ( (2n+3)! - (n +1)!*(n+2)(n+2)
et la je ne vois plus quoi faire.. :s
merci de votre aide.
Hello.
Repartons de :
1!*3!*....*(2n+1)!*(2n+3)! 
(2n+3)! * ((n+1)!)n+1
et remarquons que :
(2n+3)!=(n+2)!
(n+3).....(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)
(2n+3)!(n+2)!(n+2)n+1
donc
......
mais là tu peux terminer j'en suis sûr.
bonsoir,
Je comprends le :
(2n+3)!=(n+2)!(n+3).....(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)
mais je ne suis pas sûr de comprendre ceci : (2n+3)!(n+2)!(n+2)n+1
Cela viendrait-il du fait que : (n+3).....(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3) = produit de n+1 termes, tous plus grands que n+2 ?
En utilisant ce que vous avez dit :
(2n+3)!(n+2)!(n+2)n+1
1!*3!*....*(2n+1)!*(2n+3)! (2n+3)! * ((n+1)!)n+1
1!*3!*....*(2n+1)!*(2n+3)! (2n+3)! * ((n+1)!)n+1 ((n+1)!)n+ 1 (n+2)!(n+2)n+1
1!*3!*....*(2n+1)!*(2n+3)! (n+1)!n+2*(n+2)n+2.
=> Ce qu'il fallait démontrer.. 
merci pour votre réponse .
Tout à fait correct ce que tu as fais 
mais tu n'as pas tout à fait termpiné car ensuite il faut associé chaque facteur n+2 à chaque facteur (n+1)! pour trouver (n+2)!n+2....mais tu y était presque.
(n+1)!n+2*(n+2)n+2= (n+2)!n+2...
cela me paraît logique.. :/.. Il faudrait rajouter quelque chose en plus pour le justifier ?
D'autre part, concernant ce que je n'etais pas sur sur : (2n+3)!(n+2)! >=(n+2)n+1, mon raisonnement était - il correct ?
Merci pour votre aide.
Bonne soirée
Tu peux toujours utiliser ma phrase :
il faut associé chaque facteur n+2 à chaque facteur (n+1)!
il me semble que se serait mieux.
D'autre part :
Cela viendrait-il du fait que : (n+3).....(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3) = produit de n+1 termes, tous plus grands que n+2 ?
me semble correct.
je suis désolée, mais je ne vois pas quoi/comment faire pour
Citation :
il faut associé chaque facteur n+2 à chaque facteur (n+1)!
que
(n+1)!n+2*(n+2)n+2= (n+2)!n+2
n'est pas si évident que ça ( enfin pour moi 
)et qu'il faut donner des explications.
(n+1)!n+2 c'est n+2 facteurs égaux à (n+1)!
(n+2)n+2 c'est n+2 facteurs égaux à n+2.
Associer un facteur (n+1)! avec un facteur (n+2) cela donne (n+1)!(n+2)=(n+2)!
et comme il y a n+2 associaitons de ce type à la fin cela donne n+2 facteurs égaux à (n+2)! soir (n+2)!n+2.
Mais possible que je me complique trop la vie 
oui, je vois, je vais rédiger un peu comme ca.Merci beaucoup .
Non peut-être pas,il y a aussi moi qui trouve ce résultat évident car il m'arrange... > <
Bonne soirée.
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