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Récurrence suite

Posté par Newgatee 13-11-20 à 09:44

Bonjour, voici l'énoncé:

On a f(x)= \frac{2+3x}{4+x}. Elles est croissante sur [0;4].
On considère la suite (Vn) définie par:
V0=0.1 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f(vn).




1) Conjecturer le sens de variation de (vn) ainsi que la valeur de son éventuelle limite.

Réponse 1: La suite semble croissante et sa limite semble être 1.

2) Montrer que pour tout entier naturel n,

                             1-vn+1= \frac{2}{4+V_{n}} (1-vn)


Réponse 2: Je vous épargne les calculs mais à la fin je trouve l'égalité demandé.

3) On admet que pour tout n, un   0.
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
                    
                         01-vn(\frac{1}{2})^{n}.

Réponse 3:


Initialisation: au rang n=0

             on a 01-U0(\frac{1}{2})^{0}

00.91.

Donc P0 est vraie.


Hérédité:

C'est là que je bloque je sais vraiment pas quoi faire. Si vous pouviez m'aider...

Posté par
ciocciu
re : Récurrence suite 13-11-20 à 09:50

salut
dans l'enoncé du 3) c'est bien on admet que Vn >0  parce que Un on la connait pas

Posté par
ciocciu
re : Récurrence suite 13-11-20 à 09:54

ok
pour l'hérédité c'est toujours pareil ...y'a rien à faire ...tu admets que c'est vrai pour n
donc   0<1-vn<(\frac{1}{2})^{n}
pour la démo tu DOIS te servir de l'hérédité et démontrer que   0<1-Vn+1<(\frac{1}{2})^{n}.
donc que 1-Vn+1 ?

Posté par
ciocciu
re : Récurrence suite 13-11-20 à 10:25

pardon tu dois montrer que  0<1-Vn+1<(\frac{1}{2})^{n+1}.

Posté par Newgateere : Récurrence suite 13-11-20 à 16:02

oui ok mais j'arrive pas à commencer. Comment je peux faire pour arriver à du n+1 à la fin ?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence suite 13-11-20 à 16:47

bonjur
petit dépannage en l'absence de ciocciu à qui je rends la main dès que possible
Newgatee
une fiche intéressante pour toi : Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

pour ton exo : et si tu t'intéressais à majorer la fraction \dfrac{2}{4+v_n} au sein de ta récurrence...faut bien qu'elle serve à quelque chose cette question

Posté par Newgateere : Récurrence suite 13-11-20 à 17:10

La majoré par quoi ? parce que je suis désolé mais je ne vois pas le lien avec la question 2...

Posté par
ciocciu
re : Récurrence suite 13-11-20 à 17:20

coucou
dans un premier temps tu devrais regarder les fiches pour clarifier le raisonnement par récurrence
quand c'est fait et un peu plus clair reviens nous dire

Posté par Newgateere : Récurrence suite 13-11-20 à 17:47

OK je reviendrais quand j'estimerais que j'ai bien compris le principe.

Posté par
ciocciu
re : Récurrence suite 14-11-20 à 01:18

Et on sera là

Posté par Newgateere : Récurrence suite 15-11-20 à 10:09

Ca y est ! , je crois avoir compris !

Il faut se servir de la question précédente qui dit que :    1-vn+1=\frac{2}{4+V_{n}}(1-vn).

Ensuite à partir de l'hypothèse de récurrence :0(1-vn)(\frac{1}{2})^{n} ,

on doit arriver à 01-vn+1(\frac{1}{2})^{n+1}.  Donc je reprends du début :


Pour cela on initialise avec n0.

Initialisation :  01-V0(\frac{1}{2})^{0}.
                          
                                 00.91

                                Donc P0 est vraie.


Ensuite on vérifie si c'est vraie pour tout n, donc on va passer à l'hérédité:

     Hérédité:

                  Donc on a :    0\frac{2}{4+v_{n}}(1-vn) (\frac{1}{2})^{n}*\frac{2}{4+v_{n}}

                                  0Vn+1(\frac{1}{2})^{n} * \frac{2}{4+v_{n}}
                             Or comme vn0 on a 4+vn4.

Donc avec l'inverse on a:    \frac{1}{4+v_{n}}\frac{1}{4}

On peut donc déduire que   \frac{2}{4+v_{n}}\frac{1}{2}.

Donc si  \frac{2}{4+v_{n}}\frac{1}{2} alors nous aurions :

                           0Vn+1(\frac{1}{2})^{n} * \frac{1}{2}
                        
                    0Vn+1(\frac{1}{2})^{n+1}

Donc Pn+1 est vraie.

Conclusion: la proposition Pn a été initialisé au rang 0 et est héréditaire donc pout tout n :0(1-vn)(\frac{1}{2})^{n}

Posté par Newgateere : Récurrence suite 17-11-20 à 15:39

???

Posté par
ciocciu
re : Récurrence suite 17-11-20 à 16:21

alors y'a de l'idée mais c'est très mal présenté

initialisation :   ok très bien

hérédité:  tu admets que  :0<(1-vn)<(\frac{1}{2})^{n}   et tu DOIS t'en servir dans la démo ...mais ici dans cette étape d'hérédité il n'y a quasiment jamais de calcul

démo : montrons que c'est vrai pour n+1
donc tu dois montrer que  :0<(1-Vn+1)(\frac{1}{2})^{n+1}

tu pars TOUJOURS de ce que tu connais , ici tu sais que
1-Vn+1= \frac{2}{4+V_{n}} (1-Vn)
est ce que tu peux déduire que 1-Vn+1>0  ? si oui pourquoi ?



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