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Niveau terminale
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Récurrence terminaleS

Posté par Papillon5 (invité) 24-09-04 à 11:11

Bonjour aidez moi je vous en prie c'est pour lundi.
I)On considère la suite (Wn) définie pour n supérieur ou égal à 1,par: Wn égale 1!+2!+...+n!/(n+1)!
1)montrer par récurrence que pour tout n supérieur ou égale à 2, on a l'égalité 1!+2!+....+(n-1)! inférieur ou égale à n!
2)montrer que pour tout n supérieur ou égale à 2:
0 inférieur à Wn inférieur ou égale à 2/(n+1)
3)déterminer la limite de la suite (Wn) puis conclure à sa convergence.
merçi de m'aidez le plus que vous pouvez svp

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Récurrence terminaleS 24-09-04 à 12:41

1)
Supposons que 1!+2!+....+(n-1)! <= n!  (1)
Ajoutons n! de chaque coté ->

1!+2!+....+(n-1)! + n! <= 2*(n!) (1)

Avec n >=2 ,a fortiori  n+1 >= 2

et donc (1) donne:

1!+2!+...+(n-1)! + n! <= (n+1)*(n!)
1!+2!+...+ n! <= (n+1)!  (2)
Qui est l'expression (1) dans laquelle n a été remplacé par (n+1)

On vient de montrer que si 1!+2!+....+(n-1)! <= n! est vraie pour une certaine valeur de n, elle était encore vraie pour n+1.

Vérifions que 1!+2!+....+(n-1)! <= n! est vraie pour n = 2.
1! <=? 1!
-> OK.
1!+2!+....+(n-1)! <= n! est vraie pour n = 2.
Comme c'est vrai pour n = 2, c'est vrai aussi pour n = 3.
Comme c'est vrai pour n = 3, c'est vrai aussi pour n = 4.
Et ainsi de proche en proche, 1!+2!+....+(n-1)! <= n! est vraie pour tout n de N >= 2.
-----
2)
Wn = (1!+2!+...+n!)/(n+1)!
Wn = [(1!+2!+...+(n+1)) +!n!]/(n+1)!
avec ce qui a été montré dans le 1 ->
Wn <= (n!+n!)/(n+1)!
Wn <= 2(n!)/(n+1)!
Wn <= 2/(n+1)
-----
3)
lim(n->oo) Wn <= lim(n->oo [2/(n+1)]
lim(n->oo) Wn <= 0
Mais comme Wn est partout positive, on a:
lim(n->oo) Wn = 0
Et donc Wn converge.
-----
Sauf distraction.  



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