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rédaction raisonnement par récurrence

Posté par
vivamata
01-10-12 à 18:06

P(n) est la propriété: 4n+1 est un multiple de 3

a) démontrer que pour tout nombre entier naturel k, si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie

b) conclure que la propriété valable pour tout nombre entier naturel n, Expliquez.

Bonjour a tous mon problème commence des le début de l'exercice avec l'initiation. comment faire pour rédiger une initiation si P(n) n'est pas vrais
j'ai essayer jusqu'au rang 4...

merci d'avance de vos conseille.

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:14

Juste une idée comme ça : ce serait pas 4n - 1 par hasard ?

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:17

Non...

Posté par
Yzz
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:20

Salut,
J'ai l'impression que cet exo sert à montrer l'importance de l'initialisation :
Tu peux montrer l'hérédité, mais la propriété est fausse car l'initialisation est fausse.
Peux-tu ré-écrire la question b, il me semble qu'il manque des termes...

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:22

Mort de rire !

Ben bon courage alors        !!!
Parce que vu que 4n - 1  EST un multiple de 3, tu vas méchamment galérer pour prouver que ce même nombre augmenté de 2 est aussi multiple de 3.
J'attends de voir ça avec impatience ...

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:24

Citation :
J'ai l'impression que cet exo sert à montrer l'importance de l'initialisation...

Il sert d'abord à montrer l'importance de bien noter l'énoncé ...

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:25

b) conclure que la propriété P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n, Expliquez.

donc pour cette exo je saute l'initialisation...
et passe directement à l'hérédité ?

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:26

Non !
Tu relis ton énoncé. Il est faux.
Au besoin, tu appelles un copain.

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:26

b)peut on en conclure que la propriété P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n, Expliquez

Pardon

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:28

désolé pas l'habitude des ordinateur...

Posté par
Yzz
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:28

Ta question a ne concerne QUE l'hérédité, et elle se prouve sans problème.
Mais je répète : il est impossible de démarrer le processus (pas d'initialisation possible) , donc la propriété est fausse !
REDONNE L'ENONCE EXACT DE LA QUESTION b !!!

Posté par
Yzz
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:28

Ah, ben c'est mieux !
Tu as la réponse dans mon post précédent  

Posté par
Yzz
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:29

... Et salut, LeDino  

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:31

b)peut on en conclure que P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n ?, Expliquez
énoncé exacte...

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:31

Salut Yzz !

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:33

Citation :
b)peut on en conclure que P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n ?, Expliquez
énoncé exacte...

Là en effet, on peut répondre ...

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:43

Alors...

Initialisation: /

Hérédité:
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie "4k+1 est un multiple de 3"

montrons que la propriété soit vraie au rang k+1
soit p un entier naturel
4n*4+1=3*p*4
4n+1+1=12p

donc 4k+1+1 est divisible par 3 l'hérédité est vérifiée est pourtant la propriété n'est jamais vraie... ?

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:46

Explication de l'exercice :
P(n) est la propriété :  "4n + 1  est un multiple de 3".

Comme le disait Yzz, tu as un bel exemple de propriété pour laquelle il est possible de montrer l'hérédité, mais qu'il est impossible d'initialiser.
Du coup, la propriété n'est pas démontrée en général, parce que pour être vraie grâce à l'hérédité, elle doit commencer par être vraie au moins une fois.

Au passage, tu peux remarquer que la propriété suivante :
Q(n) :  "4n - 1  est un multiple de 3".
... a une hérédité qui se prouve comme celle de (Pn), mais en plus, elle s'initialise facilement (4-1 = 3 est multiple de 3).

Celà confirme que non seulement on n'arrive pas à démontrer (Pn), mais en outre, on peut montrer que (Pn) est toujours fausse, car (Pn) et (Qn) ne peuvent être vraie en même temps (car Pn et Qn sont décalées de deux unité, non multiple de 3...).

Posté par
Yzz
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:47

Pas bon, ton passage.
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie "4k+1 est un multiple de 3
Donc il existe un entier p tel que 4k+1 = 3p. Donc 4k = 3p-1.
Alors :
4k+1+1 = 4*4k+1 = 4(3p-1)+1 = 12p-3 = 3(4p-1)
Donc 4k+1+1 est encore un multiple de 3.

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:48

Je vous laisse ...

Posté par
Yzz
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:50

...Moi aussi : je crois qu'on a fini !  

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:56

d'accord donc ici on comprend que l'hérédité sans l'initialisation peut admettre tous est n'importe quoi, l'initialisation est donc indispensable...
pour répondre a la question b j'explique que je ne peux pas initialiser mon raisonnement par récurrence donc P(n) est impossible ?

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 18:57

Citation :
...Moi aussi : je crois qu'on a fini !  

Je ne pense pas que vivamata a compris l'exercice.

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 19:02

Citation :
d'accord donc ici on comprend que l'hérédité sans l'initialisation peut admettre tous et n'importe quoi, l'initialisation est donc indispensable...
pour répondre a la question (b) j'explique que je ne peux pas initialiser mon raisonnement par récurrence donc P(n) est impossible ?

Je rectifie : vivamata a compris !


Une "nuance" : tu ne peux pas dire que (Pn) est "impossible".
juste que (Pn) n'est pas prouvable tant qu'on ne trouve pas une satanée valeur de 'n' pour laquelle l'initialisation est possible.

Tu vois bien la nuance ?

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 19:04

Et tu peux toujours programmer l'ordinateur le plus énorme de la planète : il ne réussira jamais à initialiser (Pn) pour la bête raison que (Pn) n'est JAMAIS vraie.

Mais ça pour le montrer, il faut procéder autrement,  par exemple en utilisant (Qn) comme je te l'ai montré...
Mais ça ne semble pas demandé dans l'exercice.

Posté par
vivamata
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 19:06

Oui je vois bien la nuance.
Merci bien !
j'avoue j'ai étais un peu long a la détente, je n'est pas l'habitude pour ce genre de raisonnement...
Bonne soirée

Posté par
LeDino
re : rédaction raisonnement par récurrence 01-10-12 à 19:13

C'est normal que tu aies été surpris : l'exercice est manifestement fait pour ça .
Il est TRES INTELLIGENT d'ailleurs.
Parce que l'école habitue trop à appliquer des méthodes qui "marchent à tous les coups"...
C'est important aussi d'être capable de dire "On ne PEUT PAS PROUVER l'affirmation"...
Là tu l'as fait de manière construite et argumentée : c'est très bien.
... et ce malgré "l'incitation" que constitue la preuve de l'hérédité... qui s'avère insuffisante par manque d'initalisation.



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