P(n) est la propriété: 4n+1 est un multiple de 3
a) démontrer que pour tout nombre entier naturel k, si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie
b) conclure que la propriété valable pour tout nombre entier naturel n, Expliquez.
Bonjour a tous mon problème commence des le début de l'exercice avec l'initiation. comment faire pour rédiger une initiation si P(n) n'est pas vrais
j'ai essayer jusqu'au rang 4...
merci d'avance de vos conseille.
Salut,
J'ai l'impression que cet exo sert à montrer l'importance de l'initialisation :
Tu peux montrer l'hérédité, mais la propriété est fausse car l'initialisation est fausse.
Peux-tu ré-écrire la question b, il me semble qu'il manque des termes...
Mort de rire !
Ben bon courage alors
!!!
Parce que vu que 4n - 1 EST un multiple de 3, tu vas méchamment galérer pour prouver que ce même nombre augmenté de 2 est aussi multiple de 3.
J'attends de voir ça avec impatience ...
b) conclure que la propriété P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n, Expliquez.
donc pour cette exo je saute l'initialisation...
et passe directement à l'hérédité ?
b)peut on en conclure que la propriété P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n, Expliquez
Pardon
Ta question a ne concerne QUE l'hérédité, et elle se prouve sans problème.
Mais je répète : il est impossible de démarrer le processus (pas d'initialisation possible) , donc la propriété est fausse !
REDONNE L'ENONCE EXACT DE LA QUESTION b !!!
b)peut on en conclure que P(n) est vraie pour tout nombre entier naturel n ?, Expliquez
énoncé exacte...
Alors...
Initialisation: /
Hérédité:
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie "4k+1 est un multiple de 3"
montrons que la propriété soit vraie au rang k+1
soit p un entier naturel
4n*4+1=3*p*4
4n+1+1=12p
donc 4k+1+1 est divisible par 3 l'hérédité est vérifiée est pourtant la propriété n'est jamais vraie... ?
Explication de l'exercice :
P(n) est la propriété : "4n + 1 est un multiple de 3".
Comme le disait Yzz, tu as un bel exemple de propriété pour laquelle il est possible de montrer l'hérédité, mais qu'il est impossible d'initialiser.
Du coup, la propriété n'est pas démontrée en général, parce que pour être vraie grâce à l'hérédité, elle doit commencer par être vraie au moins une fois.
Au passage, tu peux remarquer que la propriété suivante :
Q(n) : "4n - 1 est un multiple de 3".
... a une hérédité qui se prouve comme celle de (Pn), mais en plus, elle s'initialise facilement (4-1 = 3 est multiple de 3).
Celà confirme que non seulement on n'arrive pas à démontrer (Pn), mais en outre, on peut montrer que (Pn) est toujours fausse, car (Pn) et (Qn) ne peuvent être vraie en même temps (car Pn et Qn sont décalées de deux unité, non multiple de 3...).
Pas bon, ton passage.
Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie "4k+1 est un multiple de 3
Donc il existe un entier p tel que 4k+1 = 3p. Donc 4k = 3p-1.
Alors :
4k+1+1 = 4*4k+1 = 4(3p-1)+1 = 12p-3 = 3(4p-1)
Donc 4k+1+1 est encore un multiple de 3.
d'accord donc ici on comprend que l'hérédité sans l'initialisation peut admettre tous est n'importe quoi, l'initialisation est donc indispensable...
pour répondre a la question b j'explique que je ne peux pas initialiser mon raisonnement par récurrence donc P(n) est impossible ?
Et tu peux toujours programmer l'ordinateur le plus énorme de la planète : il ne réussira jamais à initialiser (Pn) pour la bête raison que (Pn) n'est JAMAIS vraie.
Mais ça pour le montrer, il faut procéder autrement, par exemple en utilisant (Qn) comme je te l'ai montré...
Mais ça ne semble pas demandé dans l'exercice.
Oui je vois bien la nuance.
Merci bien !
j'avoue j'ai étais un peu long a la détente, je n'est pas l'habitude pour ce genre de raisonnement...
Bonne soirée
C'est normal que tu aies été surpris : l'exercice est manifestement fait pour ça .
Il est TRES INTELLIGENT d'ailleurs.
Parce que l'école habitue trop à appliquer des méthodes qui "marchent à tous les coups"...
C'est important aussi d'être capable de dire "On ne PEUT PAS PROUVER l'affirmation"...
Là tu l'as fait de manière construite et argumentée : c'est très bien.
... et ce malgré "l'incitation" que constitue la preuve de l'hérédité... qui s'avère insuffisante par manque d'initalisation.
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