Salut,

On montre la double inclusion:

Soit y un element de Im A(u). Il existe un x tel que y = A(u)(x)
B(u)(y) = B(u)[A(u)(x)] = A(u)[B(u)(x)] = 0 (propriete du plynome caracteristique).

Donc y est un element de Ker B(u).


Dans l'autre sens: soit x dans Ker B(u).
Comme A et B sont premiers entre eux, on a l'existence de deux polynomes R et S tels que AR + SB = 1.

Donc A(u)oR(u) + S(u)oB(u) = Id
Alors A(u)[R(u)(x)] = x et donc x est dans Im A(u)


A+
biondo

Bonsoir hanane

Tout d'abord, d'après le théorème de Cayley-Hamilton, (AB)(u)=(BA)(u)=0, c'est-à-dire aussi (B(u))o(A(u))=0.
cette égalité nous assure automatiquement que .
À présent, il faut montrer l'inclusion inverse. Pour cela, utilise le théorème de Bézout en l'appliquant aux polynômes A et B.

Kaiser

merci à vous deux , ça m'aide énormément .