Bonjour

u(B) = B + tr(B).B

Bonjour,
est-tu sûr de ta définition de u ?
ce ne serait pas u(M)=M +tr(AM).B ?

Bonjour,

en supposant que l'endomorphisme est bien


est diagonalisable, ssi on peut trouver une famille libre de matrices de telles que

.

Comme cette famille est libre, 1 matrice au plus parmi cette famille est multiple de .
Pour les autres, on doit donc avoir .

Or est une forme linéaire, et donc d'après le th. du rang.

Donc si , est diagonalisable, et si , u est diagonalisable ssi , soit .

Voilà j'espère ne pas avoir écrit trop de bêtises, auquel cas des matheux avisés me corrigeront

il faut lire "si , est diagonalisable ssi. , soit "

merci à tous,
effectivement j'avais fait une faute de frappe!
Et en utilisant la réponse de Raymond (pas bête...!) j'ai trouvé comme polynôme annulateur (X-1)(X-1-tr(AB)) ce qui (après quelques discussions) me menait au résultat que yoyodada donne.
Mais ton raisonnement est intéressant aussi, merci pour cet autre point de vue!

Bien vu.

On a aussi :

u²(M) = u(M) + tr(M)[B + tr(B).B]

Comme tr(B) = B + tr(B).B :

u²(M) = u(M) + u(M) - M + tr(B)[tr(M) - M]

Finalement :

u²(M) = [2 + tr(B)].u(M) - [1 + tr(B)].M

Donc, le polynôme :

P(X) = X² - [2 + tr(B)]X + [1 + tr(B)] annule u.

On a aussi :

P(X) = [X - (1+trB)][X - 1]

Comme P est scindé sur IR, u est forcément trigonalisable.

On observe que le sous-espace propre E(1), associé à la valeur propre 1 est défini par tr(M) = 0, c'est donc un hyperplan de M_n(IR).
Dim(E(1)) = n² - 1

Si 1 + tr(B) est différent de 1, u est diagonalisable

Par contre, il reste à étudier le cas où tr(B) = 0.

Bonjour,

Le plus rapide est de considérer l'endomorphisme v=u-id défini par v(M)=Tr(AM)B.
On a v²(M)=Tr(AM)v(B)=Tr(AB)v(M) donc le polynôme P=X(X-Tr(AB)) est annulateur de v.
Si Tr(AB) n'est pas nul, v est diagonalisable donc u=v+id aussi.
Si Tr(AB)=0, v est nilpotent; il n'est alors diagonalisable que s'il est nul, c'est-à-dire si A=0 ou B=0; sinon v est trigonalisable dans un base adaptée à Mn(R)=Ker()D, où (M)=Tr(AM).