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réduction des endomorphismes

Posté par
kikouz 03-01-08 à 11:56

bonjour,j'ai quelques difficultés concernant cet exercice.Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Soit n et E=Mn()
Soit F=(fij)la matrice de E définie par:
i{1,...,n-1},fi,i+1=1
fn,1=1
fij=0 sinon

On demande de déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de F.On note {k,1kn}les valeurs propres de F.
La matrice F est-elle diagonalisable dans E? La matrice F est elle inversible?

merci

Posté par
soucoure : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 12:37

Tu écris de déterminant de F-\lambda I_{d_{\mathbb{N}}} où \lambda\in{\mathbb{C} en développant par rapport la première colonne. Tu te ramènes au calculs du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice trinagulaire inférieure appartemant à un hyperplan de E (de dimension n-1 pour faire simple). Le déterminant étant le produit des élements diagonaux.

Le polynôme caractéristique que j'obtiens est (-1)^n(\lambda^n-1) (remarque tr(F)=0 et det(F)=(-1)^{n+1} ce qui ne contredit pas la formule).

Le spectre de F et donc formé des racines n-ième de l'unité c'est à dire \{\lambda_k=e^{\frac{2ki\pi}{n}|k\in[\!\![1,n-1]\!\!]\}.

Posté par
soucoure : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 12:56

Oups, je reprends, j'ai pas réponds aux autres questions.

Dans le spectre prendre k\in[[1,n]]

Si E_{\lambda_k} est le sev propre associé à la valeur propre \lambda_k, on a bien \sum_{k=1}^n\dim(E_{\lambda_k})=n, qui répresente la dimension non pas de E qui est n^2 mais de ??. F est bien semblable à la matrice d'un endomorphisme d'un sev de dimension  n dans une certaine base. Donc, F est diagonalisable...

On a bien F\in Gl_n{\mathbb{R} car de déterminant non nul. J'utiliserai bien la formule F^{-1}=\frac{{}^tcom(F)}{\det(F)}.

Posté par
soucoure : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 13:01

Où alors, il existerait une matrice de passage P\in Gl_n(R) telle que F=P diag(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n) P^{-1}, mais est-ce que ça commutent tout ça ?

J'avoue sécher un peu... Je me suis levé y a une heure aussi !

Posté par
soucoure : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 13:20

Pour les mineurs, je trouve \Delta_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}1\ \text{si}\ j=i+1\\0\ \text{sinon}\end{array}\right. (je me suis ramené à des matrices triangulaires puis à la matrice unité I_{n-2} ou la matrice nulle par un développement suivant la première colonne).

Les cofacteurs sont donc -1 ou 0. Reste plus qu'à mettre tout ça en forme...

Posté par
kikouzre : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 14:03

merci!mais j'ai encore un problème!
Il faut montrer que G={F^p,p}est un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des matrices.
Préciser tous les éléments générateurs du groupe G.

Posté par
soucoure : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 14:25

Sans conviction, l'étude des groupes n'est pas vraiment au programme de ma filière.

G est une partie non vide de Gl(\mathbb{R}) et \forall (x,y)\in G^2, x\times y^{-1}\in G car il existe (p,q)\in\mathbb{Z}^2 tels que x=F^p et y=F^q. Or, (\mathbb{Z},+) est aussi un groupe.

Donc, (G,\times) est un sous groupe de (Gl(\mathbb{R}),\times), donc un groupe...

Posté par
soucoure : réduction des endomorphismes 03-01-08 à 14:38

De plus F^n=P^ndiag(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)^nP^{-n}=I_n (la puissance d'une matrice diagonale et la matice diagonale des pluissances des coeff diagonaux) car (IU_n,\times) est aussi un groupe cyclique d'ordre n.

Donc, c'est aussi un groupe cyclique d'ordre n (momogène et fini ?).

Le groupe est donc engendré par (F^i)_{i\in[[1,n]]}.

A confirmer !


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