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réduction des endomorphismes

Posté par
mousse42 15-08-18 à 22:08

Bonjour,

J'ai un exercice sans correction, je vous présente mon raisonnement :

Citation :

Soient f et g deux endomorphismes d'un \mathbb{K}-ev de dimenssion n tels que fg=gf. On suppose que g admet n valeurs propres distinctes.

1)  Montrer que f et g admettent une base commune de vecteurs propres.
2)   En déduire qu'il existe a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\in \mathbb{K} tels que :

f=a_0\id+a_1g+a_2g^2+\cdots+a_{n-1}g^{n-1}


Solution :

Partie 1 :

Puisque g possède n valeurs propres que l'on note \lambda_i, on déduit que ses sous-espaces  propres sont en somme direct et que \dim E_{\lambda_i} =1

Ainsi la famille de vecteur  \{x_i\}_{i=1}^n tel que x_i\in E_{\lambda_i est une famille génératrice donc une base de E qu'on note B

On suppose \gamma une valeur propre de f, on déduit qu'il existe v\in E tel que f(v)=\gamma v

En exprimant v dans la base B, on a v=\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i ainsi f(v) =f\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i\right)=\gamma\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i\right)

on conlut que pour tout i\in [\![1,n]\!],\quad  \mu_i\ne 0 \implies x_i\in E_{\gamma}

Jusque là, je pense avoir montrer la partie  1, par contre je n'utilise pas l'hypothèse fg=gf qui permet de dire que si v est vecteur propre de f alors g(v) est un vecteur propre de f, mais je n'ai pas su l'exploiter et j'ai l'impression que cela ne pose pas de problème pour la seconde partie

Partie 2

Puisque pour g^k(x_i) =\lambda_i^kx_i


\begin{pmatrix}1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots &\lambda_1^{n-1}\\1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots &\lambda_2^{n-1}\\\vdots&&&&\vdots\\1&\lambda_n&\lambda_n^2&\cdots &\lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(x_1)\\f(x_2)\\\vdots\\ f(x_n)\end{pmatrix}

Ce qui revient à résoudre l'équation MX=Y, puisque M est une matrice de Vandermonde, son déterminant est non nul, donc inversible ainsi on a :

\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}f(x_1)\\f(x_2)\\\vdots\\ f(x_n)\end{pmatrix}

Posté par
coa347re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:24

Bonsoir,

La partie 1. ne va pas :
D'abord, l'énoncé ne suppose pas que f possède une valeur propre.
Ensuite d'où sort le \mu_i de la fin ?
Puis tu supposes que x_i \in E_\lambda_i pour conclure que x_i \in E_\lambda_i ...
Pour finir, tu n'utilises pas l'hypothèse, ce qui peut paraître bizarre.

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:26

Correction :

Citation :
on conlut que pour tout i\in [\![1,n]\!],\quad  \mu_i\ne 0 \implies x_i\in E_{\gamma}


on conlut que pour tout i\in [\![1,n]\!],\quad  \alpha_i\ne 0 \implies x_i\in E_{\gamma}

Posté par
coa347re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:26

Heu, tu conclus que x_i \in E_\gamma mais ce que tu écris dans la phrase d'avant ne le prouve pas.

Posté par
coa347re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:31

Non, c'est beaucoup plus simple que ça.

On part en supposant que \lambda est une valeur propre de g associée au vecteur propre x.

Calcule (fg)(x)=(gf)(x). Que peux-tu en conclure pour le vecteur f(x) ?

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:31

coa347 Oui en effet, on n'a pas de valeur propre pour f

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:34

que f(x) est un vecteur propre de g

Posté par
coa347re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:38

associé à quelle valeur propre ?

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:48

Merci pour tes indications, je vais reprendre tout ça proprement.

Sinon pour ta dernière question :

Si \lambda_ p une valeur propre de g et x_p\in E_{\lambda_p}

fg(x_p)=f(\lambda_px_p)=\lambda_pf(x_p)=gf(x_p) donc f(x_p) est une valeur propre associée \lambda_p puisque les sous-espaces propres sont en somme directe, donc \dim E_{\lambda_i}=1. Ainsi f(x_p)=\alpha x_p

Ok, merci beaucoup

Posté par
coa347re : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 22:55

Ok, de rien.

Posté par
Razesre : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 23:23

mousse42 @ 15-08-2018 à 22:48

Si \lambda_ p une valeur propre de g et x_p\in E_{\lambda_p}

fg(x_p)=f(\lambda_px_p)=\lambda_pf(x_p)=gf(x_p) donc f(x_p) est une valeur propre associée \lambda_p puisque les sous-espaces propres sont en somme directe, donc \dim E_{\lambda_i}=1. Ainsi f(x_p)=\alpha x_p
Donc les vecteurs propres de g sont aussi vecteurs propres de f .

Posté par
Razesre : réduction des endomorphismes 15-08-18 à 23:58

Comment as tu obtenu ça:

\begin{pmatrix}1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots &\lambda_1^{n-1}\\1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots &\lambda_2^{n-1}\\\vdots&&&&\vdots\\1&\lambda_n&\lambda_n^2&\cdots &\lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(x_1)\\f(x_2)\\\vdots\\ f(x_n)\end{pmatrix}

Quelque chose ne va pas.

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 16-08-18 à 00:15

Oui Razes, il manque un truc :

\begin{pmatrix}x_1&0&\cdots&&0\\0&x_2&0&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&&\\\\0&&\cdots&0&x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots &\lambda_1^{n-1}\\1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots &\lambda_2^{n-1}\\\vdots&&&&\vdots\\1&\lambda_n&\lambda_n^2&\cdots &\lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(x_1)\\f(x_2)\\\vdots\\ f(x_n)\end{pmatrix}

Donc on a TMX=Y donc MX=T^{-1}Y donc X=M^{-1}T^{-1}Y

Car T est inversible puisque les x_i forment une base de E et M est la matrice Vandermonde.

Merci pour ta remarque

Posté par
Razesre : réduction des endomorphismes 16-08-18 à 00:37

C'est mieux, mais les x_i ne sont-ils pas des vecteurs?

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 16-08-18 à 00:43

Razes

Merci pour tes commentaires, je reprends tout cela demain matin, ces matrices "sans taille"  me donnent le tournis.

Bonne nuit

Posté par
Razesre : réduction des endomorphismes 16-08-18 à 00:50

C'est avec grand plaisir. J'ai toujours aimée les exercices avec les matrices de Vandermonde.
A bientôt

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 16-08-18 à 10:15

Bonjour Razes

Les choses semblent plus simple le matin que tard le soir ....

On note \alpha_p les valeurs propres de f  et B= \{x_i\}_{i=1}^n une base de E :


f=a_0\id+a_1g+a_2g^2+\cdots+a_{n-1}g^{n-1}\iff \begin{pmatrix}\alpha_1&0&\cdots&&0\\0&\alpha_2&0&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&&\\\\0&&\cdots&0&\alpha_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda_1^k&0&\cdots&&0\\0&\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda_2^k&0&\cdots&0\\\vdots&&\ddots&&\\\\0&&\cdots&0&\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda_n^k\end{pmatrix}

On déduit le système suivant :

\begin{pmatrix}1&\lambda_1&\lambda_1^2&\cdots &\lambda_1^{n-1}\\1&\lambda_2&\lambda_2^2&\cdots &\lambda_2^{n-1}\\\vdots&&&&\vdots\\1&\lambda_n&\lambda_n^2&\cdots &\lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}

On note M la matrice de Vandermonde.

Ainsi on a

\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}

Posté par
Razesre : réduction des endomorphismes 16-08-18 à 20:34

Bonjour,
Il suffit d'appliquer f à  chacun des veceurs propres (qui sont nulles), tu obtiens:
f (x_i)=\sum_{k=0}^{n-1}a_kg^k (x_i)

Donc : \alpha_ix_i=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda_i^k x_i

D'ou:  \alpha_i=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda_i^k

Tu n'à pas besoin des l'équivalence qui est avant la ligne:

Citation :
On déduit le système suivant :

Posté par
mousse42re : réduction des endomorphismes 17-08-18 à 01:29

Oui, c'ets vrai, merci Razes


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