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Réduction des endomorphismes
Bonjour,j'ai des questions et j'ai besoin de quelqu'un pour me guider afin que je puisse répondre
PA et µA sont les polynômes caractéristique et minimal
1)Si n=17, rang(A)=9 et rang(A+I)=8, alors PA(X) =X8(X+1)9
2)Si PA (X) = (X-1)2(X-2)3 et A est diagonalisable, alors µA (X) =(X-1)(X-2)
3)Si n=4, µA (X) = (X-1)(X+1)2 et Trace(A) =1, alors PA(X) =(X-1)(X+1)2 X
4)Si n=4, A2= 4I et A n'est pas diagonale, alors µA (X) =
5)Si A17 = 0, alors Spect(A) =
Bonjour,
Pour 4) :
A²-4I = 0, (A+2I)(A-2I) = 0, si A n'est pas diagonale alors A+2I et A-2I ne le sont pas non plus...
Pour 5) :
Si a est une valeur propre de A, alors a17 est une valeur propre de A17, mais A17 = 0...
Bonjour[b] LeHibou[/b
Merci de m'aider
Honnêtement, je n'ai pas compris ce que tu veux dire pour la question 4
Pour 5, d'après vos Indications, je trouve Spect(A)={0}
Bonjour,
Pour 4), le polynôme caractéristique est X²-4 = (X-2)(X+2). Il est scindé et toutes ses racines sont du 1er degré. Le polynôme minimal a toute les racines du polynôme caractéristique, éventuellement à des degrés inférieurs. Mais ici, le degré de chaque racine est 1, donc il a les mêmes racines aux mêmes degrés, soit 1, et il se normalise de la même façon, donc le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique.
pour 5), effectivement la matrice nulle n'a qu'une seule valeur propre qui est 0, donc a17 = 0, donc a = 0, donc..
Et la condition A non diagonal est essentielle, car si A était diagonal, il existerait un a réel tel que A = aI, d'où A² = a²I = 4I , d'où a² = 4, d'où a = +2 ou -2, donc A = 2I ou A = -2I...
Merci
J'ai compris tout ce que vous avez mentionné sauf pour le polynôme caractéristique est X²-4
je sais que le polynome caractèristique est un annulateur, mais pour la réciproque?
Oups, effectivement, je n'avais pas vu la condition n = 4, donc le caractéristique doit être de degré 4 
En raisonnement autrement, si a est une valeur propre de A, alors a² est une valeur propre de A², mais A² = 4I, donc a² = 4, donc a = +2 et a = -2
Donc les polynômes caractéristiques de A sont possiblement (X+2)3(X-2), (X+2)²(X-2)², (X+2)(X-2)3
Le polynôme (X+2)(X-2) divise ces 3 polynômes, il comprend toutes leurs racines au degré minimum, et il est annulé par A. Il est donc le polynôme minimal.
En espérant que cette fois-ci ça tienne la route 
Pas besoin d'aller aussi loin, et on s'en fiche du polynôme caractéristique en fait.
On sait que est annulateur de A, donc son polynôme minimal le divise. Il n'est pas possible que le degré de ce dernier soit 1, sinon
qui est diagonale.
Donc et donc
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