Voici un exercice qui a été posé à l'ISFA cette année pour ceux que cette école intéresse :

1. Donner deux exemples de matrices de M₃() de rang 1, la première diagonalisable et la seconde matrice non diagonalisable (justifier).


2. Dans toute cette question, A est une matrice de M_n() de rang 1.

a) Montrer qu'il existe n réels a₁,a₂,...,a_n tels que la matrice A soit semblable à la matrice B =
    | 0  .  0  a₁|
    | .   .  .   a₂|
    | .   .  .   .  |
    | 0  .  0  a_n|

b) Justifier que la matrice A est trigonalisable

c) Montrer que la matrice A est diagonalisable si et seulement si trace(A)0.


3. Si E est un -espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E tel que trace(u)=rang(u)=1  , montrer que u est un projecteur de E.


4. Dans cette question, n=4.

a) Diagonaliser la matrice de rang 1 : J M₄() dont tous les termes sont égaux à 1.

b) En déduire la réduction de la matrice A =
    |2007  1      1      1   |
    |  1    2007  1      1   |
    |  1      1    2007  1   |
    |  1      1      1   2007|

On précisera la matrice de passage.


PS : J'ai mis les matrices avec des barres semblables aux déterminants mais il s'agit bien de matrices. Je ne trouvais pas le moyen de faire des grandes parenthèses. Amusez-vous bien !