Bonjour,
polinone->polynôme


équivaut à

Donc le polynôme est un polynôme annulateur de M, notamment, il est divisible par le polynôme minimal, ainsi ton polynôme minimal est
avec i=1 ou 2.
Probablement que ta matrice possède un spectre inclus dans {0,-j,j}
Sauf erreur
Essaie de voir si tu peux en dire plus.
A+

d'accord, merci et desolé pour l'hortographe...

Et pour la diagonalisation ?

Pour la diagonalisation je ne vois pas quoi te dire, je ne sais pas quelle matrice tu dois diagonaliser, donc si ta valeur propre est bonne ou pas. Ce me parrait bizare, mais pourquoi pas.
A+

j'ai dit une bétise, i peut prendre la valeur 0 et le polynôme x^2+x+1 peut ne pas être là.
En tout cas, on arrive à ma conclusion.
A+

en lignes, ma matrice est la suivante : (-1,2,-3) (2,2,-6) (-2,2,-6) et c'est la que les valeurs propres sont moches...

Sinon pour un polynôme caracteristique a racines complexes (2 sur 3 le sont), on procede pareil ?

Si tu diagonalises ta matrice dans C oui.
Si tu diagonalises ta matrice dans un corps k (commutatif) quelconque, c'est tout pareil.
A+

ok merci

Par contre je ne vois pas ou tu veux en venir sur l'equation matricielle...

personne ne peut m'aider pour l'equation matricielle du depart svp ??

Merci a tous

Je t'ai aidé non?

Bien sur tu m'as donné une information sur la forme du polynome minimal mais je n'arrive pas a m'en servir.
Comme on est dans les matrices j'aurai plutot pensé utiliser le polynome caracteristique mais a aussi je ne sais pas comment... C'est donc pourquoi je demande a nouveau un peu d'aide

En général les polynômes caractéristiques ne servent à rien. Ici, d'autant plus que tu ne connais pas n.
Ici tu sais que ton polynôme est annulateur de M, donc le polynôme minimal divise ce polynôme là.
A partir de là, tu as toutes les informations dont tu as besoin pour traiter le problème.

ah...

Ca veut dire quoi "ah..."?

juste que ca ne me saute pas aux yeux

Qu'est ce qui ne te saute pas aux yeux?

Si on a un polynôme annulateur, alors forcément il est divisible par ton polynôme minimal:
En fait tu as ici C qui est un anneau principal, donc C[X] est principal, et donc tout idéal de C[X] est principal.
Notamment si tu considères l'ensemble des polynômes annulateurs de ta matrice, c'est un idéal (trivial) de C[X] et il est donc engendré par un unique élément (idéal PRINCIPAL).
Sans perte de généralité on peut supposer que cet élément est unitaire, et c'est ce que l'on appelle le polynôme minimal.
De là tu déduis facilement ce que je viens de te dire.

Si tu ne connais rien aux idéaux, alors ce n'est pas grave, ca se montre pareil sans avoir vu ca, il suffit de relever ses manches et de faire les calculs, mais c'est pas compliqué pour autant.
A+

ok

C'est tout ce que tu as à répondre?

Je ne dois pas etre bien au point je vais essayer et je reposterai

Re bonjour, je ne comprend pas quelque chose, plus haut vous avez ecrit que que le polynome minimal etait avec i=1 ou 2, mais ca ne serait pas plutot ?
Si c'est le cas le polynome minimal est celui de plus bas degré, non? Ca serai en fait

je ne trouve aucune propriété de mon cours qui me permette de traiter le probleme avec le polynome minimal,désolé mais ce n'est pas de la mauvaise volonté...

Salut,
en fait le polynôme minimal est avec i=0,1,2 et k=0,1

Si ta matrice est annulé par ton polynôme de départ, appelons le P(X), alors c'est que

Notamment si a est valeur propre de M alors,

et a est annulée par ton polynôme P.

Ainsi, tu as l'information que ta matrice a des valeurs propres qui vérifient
a=0 ou a=j ou a=j^2

Si de plus, tu arrives à savoir (ici je pense que tu ne le sauras jamais) que i=0 ou 1, alors ta matrice est diagonalisable et est semblable à
diag(0,0,0,....,j,j,j,....,j^2,j^2,j^2,...) (ne sachant pas combien il y'a de 0, de j et de j^2)

si i=2, alors tu sais que ta matrice n'est pas diagonalisable, mais qu'elle admet une base dans laquelle elle est triangulaire.

Je ne vois pas tellement quoi dire de plus sur ta matrice.
A+

jusque la j'ai bien compris pour les valeurs propres de la matrice M.

AU final je ne peux donc pas vraiment resoudre cette equation, c'est ca?

Résoudre cette équation, reviendrait à trouver toutes les matrices satisfaisant l'équation:

Analyse: Si M est solution de E, M a son spectre dans {0,j,j^2}
Synthèse: Est ce que toutes les matrices de spectre inclus dans {0,j,j^2} sont solution? Je pense que non, mais toutes celles dont le polynôme minmal divise X^4+X^2+X^3 conviennent. Il y'a peut être une méchante astuce, mais je ne la vois pas.
A+

Ok merci pour tout sur cet exo et desolé d'y avoir passé tant de temps, a bientot.