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reduire le polynome de la manière la plus efficace possible

Posté par
moietremoi 15-08-11 à 14:59

Bonjour, voici un polynome d'un examen que j'ai eu. Il faut le réduire le plus efficacement possible
Merci

** image supprimée **
* Océane > moietremoi si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *

Posté par
robby3re : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:26

Salut,
pour la a)
c'est la formule (a-b)^2=a^2-b^2 avec a=(2x+y) et b=(2x-y) ça te fait donc du   (2y)^2=4y^2 si mes souvenirs sont exacts.


le b), j'ai même pas regardé.

Posté par
robby3re : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:26

PS: Recopie le sujet, sinon, tu vas pas avoir d'aide...
Bonne fin de vacances!

Posté par
moietremoire : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:28

recopier?
Enfait je n'arrive pas à écrire les racines, voila pourquoi j'ai mis une image de l'exercice

Posté par
robby3re : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:31

Tiens, vérifie que ça ressemble à ça...

(x^2+x\sqrt{3+\sqrt{3}}+1)(x^2-x\sqrt{3+\sqrt{3}}+1)(x^2+x\sqrt{3-\sqrt{3}}+1)(x^2-x\sqrt{3-\sqrt{3}}+1)

Posté par
moietremoire : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:45

oui, mais je n'arrive pas à le copier ...

Posté par
robby3re : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:48

Tu tapes ça:
(x^2+x\sqrt{3+\sqrt{3}}+1)(x^2-x\sqrt{3+\sqrt{3}}+1)(x^2+x\sqrt{3-\sqrt{3}}+1)(x^2-x\sqrt{3-\sqrt{3}}+1)

dans les balises Latex:

Posté par
Camélia Correcteurre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 15:53

Bonjour robby

C'est (a-b)^2=a^2-2ab+b^2...

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:01

Salut ,

(a) J'ai utilisé les identités remarquables (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 et (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ainsi que la distributivité simple. Je suis arrivé à 4y^2 :

(2x + y)^2 + (2x - y)^2 - 2(4x^2 - y^2)
= (2x)^2 + 2 \times 2x \times y + y^2 + (2x)^2 - 2 \times 2x \times y + y^2 - (2 \times 4x^2 - 2 \times y^2)
= 4x^2 \cancel{+ 4xy} + y^2 + 4x^2 \cancel{- 4xy} + y^2 - (8x^2 - 2y^2)
= \cancel{8x^2} + 2y^2 \cancel{- 8x^2} + 2y^2
= 4y^2.

Bien sûr, l'énoncé nous demande de réduire ce polynôme de la manière la plus efficace possible, c'est-à-dire par exemple en factorisant, mais je n'ai pas pu faire autrement qu' en développant puis réduisant l'expression.

À plus !

Posté par
robby3re : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:10

ah oui Camélia, je sais, mais j'avais tout tapé avec l'ancien latex, et quand j'ai voulu aménagé, des trucs ont sauté...
Je n'aime pas beaucoup ce nouveau latex...du moins, je n'y suis pas habitué.

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:17

(a) J'ai aussi trouvé 4y^2 en factorisant grâce aux identités remarquables (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 et (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 !

(2x + y)^2 + (2x - y)^2 - 2(4x^2 - y^2)
= (2x + y)^2 - 2(4x^2 - y^2) + (2x - y)^2
= (2x + y)^2 - 2[(2x)^2 - y^2)] + (2x - y)^2
= (2x + y)^2 - 2(2x + y)(2x - y) + (2x - y)^2
= [(2x + y) - (2x - y)]^2
= (\cancel{2x} + y \cancel{- 2x} + y)^2
= (2y)^2
= 4y^2.

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:19

Erreur :

Citation :
J'ai aussi trouvé 4y^2 en factorisant grâce aux identités remarquables (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 et (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 !

Posté par
moietremoire : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:41

merci beaucoup

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:49

De rien.
Je vais essayer de développer et réduire le (b) mais cela va me prendre beaucoup de temps, 3/4 heures peut-être.
Après je te dis ce que je trouve, d'accord ?
Sache que je ne serai pas sûr du résultat étant donné que je ne suis qu'en 3ème et qu'une erreur de signe peut tout changer.

Posté par
moietremoire : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:52

Merci encore, je pense que ce ne doit pas être si compliqué que ça
vu que l'énoncé est : réduire le polynome de la manière la plus efficace possible

Merci, je cherche aussi de mon coté

Posté par
moietremoiréduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 16:58

(x^2+x\sqrt{3+\sqrt{3}}+1)(x^2-x\sqrt{3+\sqrt{3}}+1)(x^2+x\sqrt{3-\sqrt{3}}+1)(x^2-x\sqrt{3-\sqrt{3}}+1)

*** message déplacé ***
* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *

Posté par
mdr_nonre : réduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 17:06

Citation :
Merci, je cherche aussi de mon coté

tu cherches de ton côté en postant à nouveau l'énoncé ?

*** message déplacé ***

Posté par
moietremoire : réduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 17:08

oui, car un topic = un exercice

*** message déplacé ***

Posté par
mdr_nonre : réduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 17:11

lol , c'est le même exercice que t'as là ! (même consigne) !

ici tu as une identité remarquable quand même ..

x² + 1 = a   l'autre truc = b

(a + b)(a - b)(a + B)(a - B)

*** message déplacé ***

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 18:29

(b) J'ai trouvé x^4 - 8x^3 + 4x + 1 mais je parie que c'est faux. Le calcul est tellement long...

Posté par
DOMOREAreduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 19:12

Bonjour,
Jay-M on ne trouverait pas un polynôme de degré 8 ?....
moietremoi Je te propose une méthode qui consiste à factoriser danc \mathbb{C}tes 4 polynômes,
tu obtiens (X-x_1)(X-x_2)(X+x_1)X+x_2)(X-z_1)(X-z_2)(X+z_1)(X+z_2) ce qui donne
(X^2-x_1^2)(X^2-x_2^2)(X^2-z_1^2)(X^2-z_2^2) **
or x_1 et x_2 sont conjugués dans \mathbb{R}et z_2=\overline{z_1}
cela te donne des simplifications de calcul
du genre x_1+x_2=-\sqrt{3+\sqrt{3}} et donc au carré 3+\sqrt{3}
Ainsi (x_1^2+x_2^2)^2 se développe en utilisant en plus ce qui suit
x_1x_2=\frac{1}{2} donc au carré \frac{1}{4}
donc le premier développement( les deux premiers facteurs de ** )se simplifie
tu procèdes de la même manière pour la partie complexe qui évidement redeviendra réelle.

C'est pas tellement plus simple, mais cela me semble mieux organisé
Bon courage!

Posté par
mdr_nonre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 19:36

bonjour

Citation :
Le calcul est tellement long...
si tu appliques le conseil écrit là : https://www.ilemaths.net/sujet-reduire-le-polynome-de-la-maniere-la-plus-efficace-possible-434025.html#msg3678007

les calculs sont moins longs ...

\Large (x^2 + x\sqrt{3 + \sqrt{3}} + 1)(x^2 - x\sqrt{3 + \sqrt{3}} + 1)(x^2 + x\sqrt{3 - \sqrt{3}} + 1)(x^2 - x\sqrt{3 - \sqrt{3}} + 1) \\ \\ a = x^2 + 1 \\ b = x\sqrt{3 + \sqrt{3}} \\ c = x\sqrt{3 - \sqrt{3}}

le calcul devient :   \Large (a + b)(a - b)(a + c)(a - c)

identité remarquable te ramène à un produit de 2 facteurs.


une aide supplémentaire :  \Large \boxed{(a + b)^4 = a^4 + b^4 + 4a^3b + 4b^3a + 6a^2b^2

Posté par
mdr_nonre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 19:37

\Large \boxed{(a + b)^4 = a^4 + b^4 + 4a^3b + 4b^3a + 6a^2b^2}

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 20:35

Salut DOMOREA et mdr_non ,

(b) Oui, je trouve le polynôme de degré 8 \Large x^8 - 2x^6 - 2x^2 + 1 :

\Large (x^2 + x\sqrt{3 + \sqrt{3}} + 1)(x^2 - x\sqrt{3 + \sqrt{3}} + 1)(x^2 + x\sqrt{3 - \sqrt{3}} + 1)(x^2 - x\sqrt{3 - \sqrt{3}} + 1) \\ = [(x^2 + 1) + (x\sqrt{3 + \sqrt{3}})][(x^2 + 1) - (x\sqrt{3 + \sqrt{3}})][(x^2 + 1) + (x\sqrt{3 - \sqrt{3}})][(x^2 + 1) - (x\sqrt{3 - \sqrt{3}})].
\Large \textrm{Donc ce polynôme est de la forme} \Large (a + b)(a - b)(a + c)(a - c) \Large \textrm{avec} \Large a = x^2 + 1, b = x\sqrt{3 + \sqrt{3}} \Large \textrm{et} \Large c = x\sqrt{3 - \sqrt{3}}.
\Large \textrm{Or, si on développe et réduit} \Large (a + b)(a - b)(a + c)(a - c) \Large \textrm{, on trouve :}
\Large (a + b)(a - b)(a + c)(a - c)
\Large = (a^2 - b^2)(a^2 - c^2)
\Large = a^4 - a^2c^2 - a^2b^2 + b^2c^2.
\Large \textrm{Donc en remplaçant} \Large a \Large \textrm{par} \Large x^2 + 1, \Large b \Large \textrm{par} \Large x\sqrt{3 + \sqrt{3}} \Large \textrm{et} \Large c \Large \textrm{par} \Large x\sqrt{3 - \sqrt{3}} \Large \textrm{dans} \Large a^4 - a^2c^2 - a^2b^2 + b^2c^2 \Large \textrm{, on obtient :}
\Large (x^2 + 1)^4 - (x^2 + 1)^2(x\sqrt{3 - \sqrt{3}})^2 - (x^2 + 1)^2(x\sqrt{3 + \sqrt{3}})^2 + (x\sqrt{3 + \sqrt{3}})^2(x\sqrt{3 - \sqrt{3}})^2
\Large = x^8 - 2x^6 - 2x^2 + 1.

C'est aussi le résultat de Microsoft Mathematics et Wolfram|Alpha.

Voilà.

Posté par
mdr_nonre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 20:39

alors tu vois qu'il n'était ni long , ni difficile ..

Posté par
mdr_nonre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 20:53

par contre moi je trouve

\Large \boxed{x^8 - 2x^6 - 6x^4 - 2x^6 + 1}

Posté par
mdr_nonre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 20:54

pardon

\Large \boxed{x^8 - 2x^6 - 6x^4 + 4x^2 + 1}

Posté par
mdr_nonre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 21:04

non en faite je trouve le même truc :  \Large \boxed{x^8 - 2x^6 - 2x^2 + 1}

Posté par
Jay-Mre : reduire le polynome de la manière la plus efficace possible 15-08-11 à 21:45

Citation :
alors tu vois qu'il n'était ni long , ni difficile ..

C'est vrai. En fait, j'allais développer et réduire le polynôme du (b), ce qui m'aurait pris un temps fou mais heureusement j'ai vu ton message de 17 h 11 et j'ai pensé à utiliser les identités remarquables donc finalement c'est grâce à toi que j'ai réussi. Merci.


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