Bonjour,

Une réflexion est une symétrie axiale.

Son écriture complexe est de la forme

Si les affixes de et sont et , tu peux écrire que les points et sont invariants par cette réflexion.

Tu obtiens un système d' équations à 2 inconnues et que tu résous...

salut cailloux

donc je vais trouver un truc du genre :

ma question : comment sait-on que cela correspond à une réflexion ?

en effet, on sait par exemple qu'une homothétie de centre z_0 et de rapport k s'écrit (ou avec a différent de 0 et 1) car c'est la traduction complexe de

merci !

Re,

On obtient le système:



d' où et en remplaçant par sa valeur.

Finalement la réflexion d'axe où et a pour expression complexe:



On a utilisé le fait que l' écriture complexe d' une réflexion (qui est un antidéplacement) est de la forme .

La réciproque est fausse, à savoir:

Une similitude indirecte d' écriture complexe n' est pas forcément l' écriture complexe d' une réflexion.

Pour s'en sortir, on dispose d'un théorème bien pratique:

Toute similitude qui fixe 2 points distincts et est soit l'identité soit la réflexion d'axe

Soit une transformation définie par son écriture complexe du type .

Pour démontrer que c' est une réflexion, il suffit de démontrer qu' elle a au moins 2 points invariants et qu' elle est distincte de l' identité.

Citation :
une homothétie de centre d' affixe et de rapport s'écrit (ou avec différent de 0 et 1) car c'est la traduction complexe de

salut cailloux

oui j'ai bien compris cela, mais dans un poly que j'ai, on part d'une similitude indirecte, puis l'on traduit le fait qu'elle a deux points invariants A(a) et B(b)

on arrive alors à l'expression complexe suivante :

Ensuite, ils disent je cite : "le lecteur vérifiera aisément qu'il s'agit bien là d'une réflexion d'axe (AB)"

comment voit-on qu'il s'agit bien d'une réflexion ?

merci

Pour , tu obtiens

et pour , tu obtiens (vérifie...)

Ce qui signifie que les points et sont invariants par cette transformation.

Le théorème indiqué à 00h40:

Toute simlitude qui fixe 2 points distincts et est soit l' identité soit la réflexion d' axe .

te permet de conclure...

salut cailloux

je crois qu'on tourne en rond ...

Immaginons que l'on veuille démontrer ce théorème.

On comme donc par prendre une similitude indirecte ( car la similitude directre avec deux points invariants est l'identité)

on traduit le fait qu'elle admet deux poins fixes.

on trouve :

reste à montrer qu'il s'agit bien d'une réflexion.

comment faire ?

merci

Re,

Bon, ben on va le démontrer ce théorème...

Th1: Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l' application identique.
Démo: soit une similitude ayant trois points fixes et
le rapport de est
et est donc une isométrie.

Soit un point du plan et son image.
Supposons que
et et car est une isométrie.
appartient donc à la médiatrice de
On peut démontrer de la même manière que et appartiennent à la médiatrice de
et sont donc alignés ce qui est contraire à l' hypothèse.
Donc et le th1 est démontré.

Th2: Toute similitude qui fixe 2 points distincts et est soit l' identité soit la réflexion d' axe .

Démo: Soit uen similitude telle que et ( et distincts).
et est une similitude de rapport 1 donc une isométrie.

Soit un point distinct de et son image par

Si alors admet 3 points fixes non alignés et est l' identité d' après le th1.

Si , on a puisque est une isométrie.
de même ;
et appartiennent donc à la médiatrice de

soit la symétrie d' axe
et .
car est la médiatrice de
est donc une similitude admettant 3 points fixes non alignés.
donc est l' identité d' après le th1.

En composant par à gauche:
Soit ou

est donc la symétrie axiale d' axe et le th2 est démontré.